Упр.118 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ. а) Докажите, что уголOMP = уголOPM; б) найдите уголNOM, если уголMOP= 105°. В На основании ВС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что: а) треугольникВАМ = треугольникCAN; б) треугольник AMN равнобедренный.

Подробный ответ

а) Рассмотрим треугольники $$MNO$$ и $$PQO$$. У них

$$MN=PQ$$ — по условию,

$$NO=OQ$$ — так как $$O$$ — середина отрезка $$NQ$$,

$$\angle MNO=\angle PQO=90^\circ$$, поскольку $$MN\perp b$$ и $$PQ\perp b$$.

Следовательно, $$\triangle MNO \cong \triangle PQO$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит,

$$MO=OP.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$OMP$$. Так как $$MO=OP$$, то он равнобедренный, а значит, его углы при основании равны:

$$\angle OMP=\angle OPM.$$

б) В треугольнике $$MOP$$ угол $$\angle MOP=105^\circ$$, а так как $$MO=OP$$, то

$$\angle OMP=\angle OPM=\frac{180^\circ-105^\circ}{2}=37^\circ30′.$$

Рассмотрим угол $$\angle MON$$. Точки $$N, O, Q$$ лежат на одной прямой, поэтому лучи $$ON$$ и $$OQ$$ — противоположные, следовательно,

$$\angle MON+\angle MOQ=180^\circ.$$

Но $$\angle MOQ=\angle MOP=105^\circ$$, значит

$$\angle MON=180^\circ-105^\circ=75^\circ.$$

В треугольнике $$MON$$ имеем $$MO=OP$$ и $$NO=OQ$$, а также $$\angle MNO=90^\circ$$, поэтому треугольник $$MON$$ равнобедренный с вершиной при $$O$$. Тогда его углы при основании равны:

$$\angle NOM=\frac{180^\circ-75^\circ}{2}=52^\circ30′.$$