Упр.118 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$M$$ и $$P$$ лежат по одну сторону от прямой $$b$$. Перпендикуляры $$MN$$ и $$PQ$$, проведённые к прямой $$b$$, равны. Точка $$O$$ — середина отрезка $$NQ$$. а) Докажите, что $$\angle OMP=\angle OPM$$; б) найдите $$\angle NOM$$, если $$\angle MOP=105^\circ$$.
2. На основании $$BC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$M$$ и $$N$$ так, что $$BM=CN$$. Докажите, что: а) $$\triangle BAM=\triangle CAN$$; б) $$\triangle AMN$$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $$MNO$$ и $$PQO$$.

Так как $$MN \perp b$$ и $$PQ \perp b$$, то $$\angle MNO=\angle PQO=90^\circ$$. По условию $$MN=PQ$$, а также $$NO=OQ$$, поскольку $$O$$ — середина отрезка $$NQ$$.

Следовательно, $$\triangle MNO \cong \triangle PQO$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$MO=OP$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$OMP$$. В нём $$MO=OP$$, значит, $$\triangle OMP$$ равнобедренный, и потому

$$\angle OMP=\angle OPM.$$

Это и требовалось доказать.

Найдём угол $$NOM$$. Так как точки $$N, O, Q$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle MON$$ и $$\angle MOQ$$ смежные, а из равенства треугольников $$MNO$$ и $$PQO$$ получаем $$\angle MON=\angle POQ$$.

Вокруг точки $$O$$ сумма углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle MON+\angle MOP+\angle POQ=180^\circ.$$

Поскольку $$\angle MON=\angle POQ$$ и $$\angle MOP=105^\circ$$, имеем

$$2\angle MON+105^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle MON=75^\circ,$$

$$\angle MON=37^\circ 30′.$$

Так как лучи $$ON$$ и $$OQ$$ — противоположные, то

$$\angle NOM=\angle MON=37^\circ 30′.$$

Ответ: $$\angle OMP=\angle OPM$$, $$\angle NOM=37^\circ 30′.$$