Упр.1179 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль? На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треугольник ABS так, как показано на рисунке 333: CC1перпендикуляренAS, DD1перпендикуляренBS. Используя параллельный перенос, докажите, что прямые SK и АВ взаимно перпендикулярны.

Подробный ответ

1) Сечение головки вентиля — правильный треугольник со стороной $$a=3$$ см. Минимальный диаметр круглого стержня равен диаметру окружности, описанной около этого треугольника.

Для правильного треугольника радиус описанной окружности равен

$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$R=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\text{ см}.$$

Следовательно, диаметр

$$d=2R=2\sqrt{3}\text{ см}.$$

2) Обозначим через $$K$$ точку пересечения высот треугольника $$CS_1D$$, полученного из треугольника $$BSA$$ параллельным переносом на вектор $$\overrightarrow{BC}$$.

При таком переносе точка $$B$$ переходит в $$C$$, $$S$$ — в $$S_1$$, $$A$$ — в $$D$$. Поэтому из условий $$CC_1\perp AS$$ и $$DD_1\perp BS$$ получаем:

$$CC_1\perp S_1D,\qquad DD_1\perp S_1C.$$

Значит, прямые $$CC_1$$ и $$DD_1$$ являются высотами треугольника $$CS_1D$$, а их пересечение — точка $$K$$.

Так как при параллельном переносе сохраняются параллельность и перпендикулярность, то высота, проведённая из вершины $$S_1$$ треугольника $$CS_1D$$, параллельна высоте треугольника $$BSA$$, проведённой из вершины $$S$$. Следовательно, $$SK$$ перпендикулярна стороне, соответствующей стороне $$AB$$, то есть

$$SK\perp AB.$$