Упр.1176 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки.
- Даны острый угол $$\angle ABC$$ и точка $$D$$ внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки $$E$$ и $$F$$, чтобы треугольник $$DEF$$ имел наименьший периметр.
Пусть $$D_1$$ и $$D_2$$ — точки, симметричные точке $$D$$ относительно сторон $$BA$$ и $$BC$$ соответственно.
Тогда точки $$E$$ и $$F$$ нужно взять так:
- $$E = D_1D_2 \cap BA$$;
- $$F = D_1D_2 \cap BC$$.
Докажем, что при таком выборе периметр $$\triangle DEF$$ будет наименьшим.
Так как $$D_1$$ симметрична точке $$D$$ относительно $$BA$$, то $$ED = ED_1$$. Аналогично, из симметрии точки $$D_2$$ относительно $$BC$$ получаем $$FD = FD_2$$.
Следовательно,
$$P_{DEF}=DE+EF+FD=ED_1+EF+FD_2.$$
Но точки $$E, F, D_1, D_2$$ лежат на одной прямой $$D_1D_2$$, поэтому
$$ED_1+EF+FD_2=D_1D_2.$$
Значит, периметр треугольника $$DEF$$ равен расстоянию между точками $$D_1$$ и $$D_2$$. А это расстояние не зависит от выбора точек $$E$$ и $$F$$, если они построены указанным способом, и является наименьшим возможным по неравенству треугольника.
Итак, искомые точки надо получить как точки пересечения сторон угла с прямой, соединяющей отражения точки $$D$$ относительно этих сторон.
