Упр.1175 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.
- Даны прямая $$a$$ и точки $$M$$ и $$N$$, лежащие по одну сторону от неё. Докажите, что на прямой $$a$$ существует единственная точка $$X$$, такая, что сумма расстояний $$MX+XN$$ имеет наименьшее значение.
Пусть точка $$N_1$$ симметрична точке $$N$$ относительно прямой $$a$$. Тогда для любой точки $$X \in a$$ отрезки $$XN$$ и $$XN_1$$ симметричны относительно прямой $$a$$, значит
$$XN = XN_1.$$
Следовательно,
$$MX + XN = MX + XN_1.$$
Теперь рассмотрим ломаную $$MXN_1$$. По неравенству треугольника
$$MX + XN_1 \ge MN_1,$$
и равенство достигается тогда и только тогда, когда точки $$M$$, $$X$$, $$N_1$$ лежат на одной прямой, причём $$X$$ находится на отрезке $$MN_1$$.
Значит, сумма $$MX + XN$$ принимает наименьшее значение именно для той точки $$X$$, которая является точкой пересечения прямой $$a$$ с прямой $$MN_1$$.
Такая точка единственна, так как две прямые пересекаются не более чем в одной точке.
Ответ: существует единственная точка $$X \in a$$, для которой сумма $$MX + XN$$ минимальна; это точка пересечения прямой $$a$$ с прямой, соединяющей $$M$$ и точку, симметричную $$N$$ относительно $$a$$.
