Упр.1174 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают. Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.

а) Пусть $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольники. По условию $$AB=A_1B_1$$ и $$AD=A_1D_1$$.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит

$$AB=CD,\quad AD=BC,$$

$$A_1B_1=C_1D_1,\quad A_1D_1=B_1C_1.$$

Следовательно,

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1.$$

То есть у прямоугольников соответственно равны смежные стороны. Значит, $$ABCD \cong A_1B_1C_1D_1$$ по двум сторонам и углу между ними, так как все углы прямоугольника равны $$90^\circ$$.

б) Пусть в прямоугольниках $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ равны сторона и диагональ:

$$AB=A_1B_1,\quad BD=B_1D_1.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle A_1B_1D_1$$. У них

$$AB=A_1B_1,\quad BD=B_1D_1,$$

а углы $$\angle BAD$$ и $$\angle B_1A_1D_1$$ прямые. Значит,

$$\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$$

по катету и гипотенузе. Отсюда

$$AD=A_1D_1.$$

Теперь в прямоугольниках $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ равны две смежные стороны:

$$AB=A_1B_1,\quad AD=A_1D_1.$$

Следовательно, эти прямоугольники равны.

Доказательство про правильный многоугольник. В правильный многоугольник можно вписать окружность. Серединный перпендикуляр к любой его стороне проходит через центр этой окружности, то есть является радиусом вписанной окружности. Все такие перпендикуляры проходят через одну и ту же точку — центр многоугольника. Значит, они либо пересекаются в одной точке, либо, если соответствующие стороны параллельны, совпадают.

Ответ

а) $$ABCD \cong A_1B_1C_1D_1$$; б) $$ABCD \cong A_1B_1C_1D_1$$. Серединные перпендикуляры к сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.