Упр.1169 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что любой правильный четырёхугольник является квадратом.
2. Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата $$ABCD$$. Тогда $$O$$ является центром квадрата и одновременно центром описанной около него окружности.

При повороте вокруг точки $$O$$ на $$90^\circ$$ каждая вершина квадрата переходит в соседнюю вершину, так как квадрат делится диагоналями на четыре равные части, а центральный угол между соседними вершинами равен

$$\frac{360^\circ}{4}=90^\circ.$$

Значит, при таком повороте точка $$A$$ перейдёт в $$B$$, $$B$$ — в $$C$$, $$C$$ — в $$D$$, $$D$$ — в $$A$$. Следовательно, квадрат отображается на себя.

Ответ

При повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на $$90^\circ$$ квадрат отображается на себя.