Упр.1168 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте.
Точка $$D$$ является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника $$ABC$$. Докажите, что при повороте вокруг точки $$D$$ на угол $$120^\circ$$ треугольник $$ABC$$ отображается на себя.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то его биссектрисы пересекаются в одной точке $$D$$, которая является также центром описанной окружности. Значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на окружности с центром в $$D$$.

В равностороннем треугольнике все три дуги между соседними вершинами равны, поэтому каждая из них составляет

$$\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.$$

При повороте вокруг точки $$D$$ на $$120^\circ$$ точка $$A$$ перейдёт в $$B$$, точка $$B$$ — в $$C$$, а точка $$C$$ — в $$A$$. Следовательно, треугольник $$ABC$$ при таком повороте отображается на себя.

Ответ: при повороте вокруг точки $$D$$ на $$120^\circ$$ треугольник $$ABC$$ отображается на себя.