Упр.1166 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.
2. Постройте отрезок $$A_1B_1$$, который получается из данного отрезка $$AB$$ поворотом вокруг данного центра $$O$$: а) на $$120^\circ$$ по часовой стрелке; б) на $$75^\circ$$ против часовой стрелки; в) на $$180^\circ$$.

Пусть $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$ Обозначим коэффициент подобия через $$k$$. Тогда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CA}{C_1A_1}=k.$$

а) Окружности, описанные около треугольников

Для подобных треугольников соответствующие углы равны, а значит, равны и их синусы. По формуле для стороны треугольника через радиус описанной окружности имеем:

$$AB=2R\sin \angle C,$$

$$A_1B_1=2R_1\sin \angle C_1.$$

Так как $$\angle C=\angle C_1,$$ то $$\sin \angle C=\sin \angle C_1$$, и поэтому

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{2R\sin \angle C}{2R_1\sin \angle C_1}=\frac{R}{R_1}.$$

Но $$\frac{AB}{A_1B_1}=k$$, следовательно,

$$k=\frac{R}{R_1}.$$

б) Вписанные окружности

Площадь треугольника выражается через радиус вписанной окружности:

$$S=pr,$$

где $$p$$ — полупериметр треугольника. Для подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S}{S_1}=k^2.$$

С другой стороны, так как периметры подобных треугольников относятся как $$k$$, то и полупериметры относятся как $$k$$. Тогда

$$\frac{S}{S_1}=\frac{pr}{p_1r_1}=\frac{p}{p_1}\cdot\frac{r}{r_1}=k\cdot\frac{r}{r_1}.$$

Сравнивая с $$\frac{S}{S_1}=k^2$$, получаем

$$k\cdot\frac{r}{r_1}=k^2,$$

откуда

$$\frac{r}{r_1}=k.$$

Итак, коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов их описанных окружностей и отношению радиусов их вписанных окружностей.