Упр.1163 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Четырёхугольник $$ABCD$$ задан координатами своих вершин: $$A(-1; 2),\ B(1; -2),\ C(2; 0),\ D(1; 6)$$. Докажите, что $$ABCD$$ — трапеция, и найдите её площадь.
- Задание учебника 2023 года. Начертите треугольник $$ABC$$, вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор $$\vec a$$, параллельный стороне $$AC$$. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, который получается из треугольника $$ABC$$ параллельным переносом: а) на вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$; б) на вектор $$\vec a$$.
Найдём координаты векторов сторон:
$$\overrightarrow{AD}=(1-(-1);\,6-2)=(2;4),$$
$$\overrightarrow{BC}=(2-1;\,0-(-2))=(1;2).$$
Векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ коллинеарны, так как
$$\frac{2}{1}=\frac{4}{2}.$$
Значит, прямые $$AD$$ и $$BC$$ параллельны.
Найдём длины этих сторон:
$$|AD|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20},$$
$$|BC|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$
Так как $$AD \parallel BC$$, то четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция, причём основаниями являются $$AD$$ и $$BC$$.
Теперь найдём площадь трапеции. Удобно использовать формулу через диагонали:
$$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD\cdot \sin\alpha,$$
где $$\alpha$$ — угол между диагоналями $$AC$$ и $$BD$$.
Вычислим диагонали:
$$\overrightarrow{AC}=(2-(-1);\,0-2)=(3;-2),$$
$$\overrightarrow{BD}=(1-1;\,6-(-2))=(0;8).$$
Тогда
$$|AC|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13},$$
$$|BD|=\sqrt{0^2+8^2}=8.$$
Найдём $$\sin\alpha$$. Сначала вычислим $$\cos\alpha$$:
$$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}}{|AC|\cdot|BD|}=\frac{3\cdot 0+(-2)\cdot 8}{\sqrt{13}\cdot 8}=-\frac{2}{\sqrt{13}}.$$
Тогда
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{4}{13}}=\sqrt{\frac{9}{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.$$
Подставим в формулу площади:
$$S_{ABCD}=\frac12\cdot \sqrt{13}\cdot 8\cdot \frac{3}{\sqrt{13}}=12.$$
Ответ
$$ABCD$$ — трапеция, $$S_{ABCD}=12.$$
