Упр.1163 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вершин: А (-1; 2), В (1; —2), С (2; 0), _D(1;6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите её площадь. Начертите треугольник ABC, вектор ММ1, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а, параллельный стороне АС. Постройте треугольник А1В1С1, который получается из треугольника ABC параллельным переносом: а) на вектор ММ1; б) на вектор а.
Найдём координаты векторов $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$:
$$\overrightarrow{AD}=(1-(-1);\,6-2)=(2;4),$$
$$\overrightarrow{BC}=(2-1;\,0-(-2))=(1;2).$$
Векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ коллинеарны, так как
$$\frac{2}{1}=\frac{4}{2}.$$
Значит, $$AD \parallel BC$$. При этом
$$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20},$$
$$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$
Следовательно, одна пара противоположных сторон четырёхугольника параллельна, а сами стороны не равны, значит $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$.
Найдём её площадь. Удобно использовать формулу через диагонали:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\,|AC|\cdot|BD|\cdot\sin\alpha,$$
где $$\alpha$$ — угол между диагоналями $$AC$$ и $$BD$$.
Найдём векторы диагоналей:
$$\overrightarrow{AC}=(2-(-1);\,0-2)=(3;-2),$$
$$\overrightarrow{BD}=(1-1;\,6-(-2))=(0;8).$$
Тогда
$$|AC|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13},$$
$$|BD|=\sqrt{0^2+8^2}=8.$$
Найдём $$\cos\alpha$$:
$$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}}{|AC|\cdot|BD|}= \frac{3\cdot 0+(-2)\cdot 8}{\sqrt{13}\cdot 8} =-\frac{2}{\sqrt{13}}.$$
Тогда
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{4}{13}} =\sqrt{\frac{9}{13}} =\frac{3}{\sqrt{13}}.$$
Подставим в формулу площади:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{13}\cdot 8\cdot \frac{3}{\sqrt{13}}=12.$$
Построение треугольника $$A_1B_1C_1$$ при параллельном переносе:
а) на вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$:
- через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ проводим прямые, параллельные $$\overrightarrow{MM_1}$$;
- на этих прямых откладываем отрезки, равные $$|\overrightarrow{MM_1}|$$, в направлении вектора;
- получаем точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ и соединяем их.
б) на вектор $$\vec a$$, параллельный стороне $$AC$$:
- через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ проводим прямые, параллельные $$\vec a$$;
- откладываем на них отрезки, равные длине вектора $$\vec a$$, в его направлении;
- получаем точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ и соединяем их.
Ответ
$$ABCD$$ — трапеция, $$S_{ABCD}=12$$.
