Упр.1162 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Точка $$M$$ лежит на стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ и $$BM = kMC$$. Докажите, что $$\left(1+k\right)^2AM^2=k^2b^2+2bc k\cos A+c^2$$, где $$b=AC$$, $$c=AB$$.
Задание учебника 2023 года. Начертите отрезок $$AB$$ и вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$. Постройте отрезок $$A_1B_1$$, который получается из отрезка $$AB$$ параллельным переносом на вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$.

Подробный ответ

Пусть $$\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{MC}.$$ Тогда

$$\overrightarrow{BM}=k\bigl(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}\bigr),$$

откуда

$$\overrightarrow{BM}=\frac{k}{1+k}\overrightarrow{BC}=\frac{k}{1+k}\bigl(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\bigr).$$

По правилу треугольного сложения векторов

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{k}{1+k}\bigl(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\bigr).$$

Приведём подобные:

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{1+k}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{1+k}\overrightarrow{AC}.$$

Следовательно,

$$(1+k)\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(1+k)^2AM^2=(\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC})^2$$

$$=(\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC})$$

$$=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+2k\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+k^2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}.$$

Так как $$AB=c,$$ $$AC=b,$$ а угол между векторами $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ равен $$\angle A,$$ то

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=c^2,\qquad \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=b^2,\qquad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=bc\cos A.$$

Подставляя, получаем

$$(1+k)^2AM^2=c^2+2kbc\cos A+k^2b^2.$$

То есть

$$(1+k)^2AM^2=k^2b^2+2bck\cos A+c^2,$$

что и требовалось доказать.