Упр.1159 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD=16\text{ см}$$ и $$BC=8\text{ см}$$ боковая сторона равна $$4\sqrt{7}\text{ см}$$, а угол $$ADC=60^\circ$$. Через вершину $$C$$ проведена прямая $$l$$, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой $$l$$, заключённого внутри трапеции.
Даны прямая $$a$$ и четырёхугольник $$ABCD$$. Постройте фигуру $$F$$, на которую отображается данный четырёхугольник при осевой симметрии с осью $$a$$. Что представляет собой фигура $$F$$?

Подробный ответ

Пусть $$CH$$ — высота трапеции, опущенная из точки $$C$$ на основание $$AD$$.

В прямоугольном треугольнике $$CDH$$ имеем:

$$\sin 60^\circ=\frac{CH}{CD}$$

откуда

$$CH=CD\cdot \sin 60^\circ=4\sqrt7\cdot \frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt{21}\text{ см}.$$

Тогда площадь трапеции:

$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CH=\frac{16+8}{2}\cdot 2\sqrt{21}=24\sqrt{21}\text{ см}^2.$$

Так как прямая $$l$$ делит трапецию на две равновеликие части, то площадь одной из них равна

$$\frac{S_{ABCD}}{2}=12\sqrt{21}\text{ см}^2.$$

Обозначим точку пересечения прямой $$l$$ с основанием $$AD$$ через $$C_1$$. Тогда площадь треугольника $$CC_1D$$ равна площади одной из частей трапеции:

$$S_{CC_1D}=12\sqrt{21}.$$

С другой стороны,

$$S_{CC_1D}=\frac12\cdot CH\cdot C_1D=\frac12\cdot 2\sqrt{21}\cdot C_1D.$$

Отсюда

$$12\sqrt{21}=\sqrt{21}\cdot C_1D,$$

значит

$$C_1D=12\text{ см}.$$

Теперь найдём длину отрезка $$CC_1$$. В треугольнике $$CC_1D$$ по теореме косинусов:

$$CC_1^2=CD^2+C_1D^2-2\cdot CD\cdot C_1D\cdot \cos 60^\circ.$$

Подставим значения:

$$CC_1^2=(4\sqrt7)^2+12^2-2\cdot 4\sqrt7\cdot 12\cdot \frac12=112+144-48\sqrt7=256-48\sqrt7.$$

Следовательно,