Упр.1157 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. При каком значении $$x$$ векторы $$\mathbf p=x\mathbf a+17\mathbf b$$ и $$\mathbf q=3\mathbf a-\mathbf b$$ перпендикулярны, если $$|\mathbf a|=2$$, $$|\mathbf b|=5$$ и $$\angle(\mathbf a,\mathbf b)=120^\circ$$?
2. Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

Скалярное произведение векторов $$\vec p$$ и $$\vec q$$ равно нулю, так как перпендикулярные векторы имеют нулевое скалярное произведение:

$$\vec p\cdot \vec q=0.$$

Вычислим:

$$\vec p\cdot \vec q=(x\vec a+17\vec b)(3\vec a-\vec b)$$

$$=3x\vec a^2-x\vec a\vec b+51\vec a\vec b-17\vec b^2.$$

Так как $$|\vec a|=2,$$ то $$\vec a^2=|\vec a|^2=4.$$

Так как $$|\vec b|=5,$$ то $$\vec b^2=|\vec b|^2=25.$$

Кроме того,

$$\vec a\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos 120^\circ=2\cdot 5\cdot \left(-\frac12\right)=-5.$$

Тогда

$$\vec p\cdot \vec q=3x\cdot 4-x(-5)+51(-5)-17\cdot 25$$

$$=12x+5x-255-425=17x-680.$$

Так как $$\vec p\perp \vec q,$$ получаем:

$$17x-680=0,$$

$$x=\frac{680}{17}=40.$$

Ответ: $$40$$.