Упр.1156 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах $$\vec a=6\vec p+2\vec q$$ и $$\vec b=\vec p-3\vec q$$, если $$|\vec p|=2\sqrt{2}$$, $$|\vec q|=3$$ и $$\angle(\vec p,\vec q)=45^\circ$$.
2. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$BC=B_1C_1$$. Докажите, что существует движение, при котором точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ отображаются в точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$, и притом только одно.

Так как $$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1,$$ то треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по трём сторонам.

Следовательно, существует наложение, при котором $$A\mapsto A_1,\quad B\mapsto B_1,\quad C\mapsto C_1.$$ Такое наложение является движением.

Докажем, что это движение единственно. Предположим, что существует ещё одно движение, переводящее $$A,B,C$$ соответственно в $$A_1,B_1,C_1.$$ Тогда оно переводит центр описанной окружности треугольника $$ABC$$ в центр описанной окружности треугольника $$A_1B_1C_1.$$ Но у каждого треугольника центр описанной окружности единственный, значит, образ центра определяется однозначно. После этого однозначно определяются и образы точек $$A,$$ $$B,$$ $$C.$$ Следовательно, искомое движение единственно.

Ответ: существует ровно одно движение, переводящее $$A\to A_1,$$ $$B\to B_1,$$ $$C\to C_1.$$