Упр.1156 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах a = bp + 2q и b-р- 3 q, если |p| = 2корень2, |q| = 3 и pq = 45°. В треугольниках ABC и А1В1С1 АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1. Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки А1, В1 и С1, и притом только одно.

Подробный ответ

Найдём диагонали параллелограмма, построенного на векторах $$\vec a=5\vec p+2\vec q$$ и $$\vec b=\vec p-3\vec q$$, если $$|\vec p|=2\sqrt2$$, $$|\vec q|=3$$, $$\angle(\vec p,\vec q)=45^\circ$$.

Диагонали параллелограмма равны векторам $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$.

1) Первая диагональ:

$$ \vec a+\vec b=(5\vec p+2\vec q)+(\vec p-3\vec q)=6\vec p-\vec q. $$

Тогда

$$ |\vec a+\vec b|^2=|6\vec p-\vec q|^2=36|\vec p|^2+|\vec q|^2-12|\vec p||\vec q|\cos45^\circ. $$

$$ |\vec a+\vec b|^2=36\cdot 8+9-12\cdot 2\sqrt2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt2}{2}=288+9-72=225. $$

$$ |\vec a+\vec b|=15. $$

2) Вторая диагональ:

$$ \vec a-\vec b=(5\vec p+2\vec q)-(\vec p-3\vec q)=4\vec p+5\vec q. $$

Тогда

$$ |\vec a-\vec b|^2=|4\vec p+5\vec q|^2=16|\vec p|^2+25|\vec q|^2+40|\vec p||\vec q|\cos45^\circ. $$

$$ |\vec a-\vec b|^2=16\cdot 8+25\cdot 9+40\cdot 2\sqrt2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt2}{2}=128+225+240=593. $$