Упр.1154 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что треугольник с вершинами А $$\left(3; 0\right)$$, В $$\left(1; 5\right)$$ и С $$\left(2; 1\right)$$ тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.
2. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(3-1)^2+(0-5)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29},$$
$$BC=\sqrt{(1-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17},$$
$$AC=\sqrt{(3-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.$$

Наибольшая сторона — $$AB$$, значит, против неё лежит наибольший угол $$\angle C$$. Проверим его вид по теореме косинусов:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle C,$$
$$29=2+17-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{17}\cdot \cos \angle C,$$
$$29=19-2\sqrt{34}\cos \angle C,$$
$$10=-2\sqrt{34}\cos \angle C,$$
$$\cos \angle C=-\frac{5}{\sqrt{34}}<0.$$

Следовательно, $$\angle C$$ тупой, значит, треугольник $$ABC$$ тупоугольный.

Косинус тупого угла равен $$-\frac{5}{\sqrt{34}}$$.