Упр.1153 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Чтобы определить расстояние между точками А и В, которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В. Измерив угол АС В и расстояния АС и СВ, находят расстояние АВ. Найдите АВ, если АС=b, СВ = а, угол ACB = a. Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, где $$AC=b$$, $$BC=a$$, $$\angle ACB=\alpha$$. По теореме косинусов:

$$ AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \angle ACB $$

Подставим данные:

$$ AB^2=b^2+a^2-2ab\cos\alpha $$

Так как длина отрезка положительна, получаем:

$$ AB=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha} $$

Докажем, что при движении окружность переходит в окружность того же радиуса. Пусть окружность $$\omega(O,R)$$ при движении переходит в фигуру $$\omega_1$$, а точка $$O$$ переходит в точку $$O_1$$. Возьмём любую точку $$M$$ на окружности $$\omega$$. Тогда $$OM=R$$. При движении сохраняются расстояния, значит, образ точки $$M$$ — это точка $$M_1$$, для которой

$$ O_1M_1=OM=R $$

Следовательно, образ любой точки окружности находится на расстоянии $$R$$ от точки $$O_1$$. Значит, все такие точки образуют окружность с центром $$O_1$$ и радиусом $$R$$. Итак, при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.