Упр.1152 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите биссектрису $$AD$$ треугольника $$ABC$$, если угол $$A=\alpha$$, $$AB=c$$, $$AC=b$$.
- Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.
а) Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а при движении точки $$A,B,C,D$$ переходят в точки $$A_1,B_1,C_1,D_1$$.
Так как движение сохраняет длины и параллельность, то
$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad C_1D_1=CD,\quad A_1D_1=AD,$$
а также $$A_1B_1 \parallel C_1D_1$$ и $$B_1C_1 \parallel A_1D_1$$. Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.
б) Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AD \parallel BC$$. На стороне $$AD$$ отметим точку $$K$$ так, что $$AK=BC$$ и $$AK \parallel BC$$. Тогда $$ABCK$$ — параллелограмм, значит
$$AB=CK,\quad BC=AK.$$
При движении получаем
$$A_1B_1=AB=CK=C_1K_1,\quad B_1C_1=BC=AK=A_1K_1.$$
Значит, $$A_1B_1C_1K_1$$ — параллелограмм, откуда $$A_1K_1 \parallel B_1C_1$$. Так как $$K_1 \in A_1D_1$$, то $$A_1D_1 \parallel B_1C_1$$, следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — трапеция.
в) Пусть $$ABCD$$ — ромб. Тогда
$$AB=BC=CD=DA.$$
После движения
$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad C_1D_1=CD,\quad A_1D_1=DA,$$
то есть
$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=A_1D_1.$$
Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — ромб.
г) Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник. Тогда
$$AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ.$$
Движение сохраняет длины и углы, значит
$$A_1B_1=C_1D_1,\quad B_1C_1=A_1D_1,$$
а также все углы четырёхугольника $$A_1B_1C_1D_1$$ равны $$90^\circ$$. Следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник.
Если же $$ABCD$$ — квадрат, то дополнительно $$AB=BC$$. Тогда после движения
$$A_1B_1=B_1C_1=C_1D_1=A_1D_1,$$
и все углы прямые. Значит, $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадрат.
Ответ
При движении: параллелограмм переходит в параллелограмм, трапеция — в трапецию, ромб — в ромб, прямоугольник — в прямоугольник, квадрат — в квадрат.
