Упр.1150 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Используя теорему косинусов, решите треугольник $$ABC$$, если:
   а) $$AB=5\text{ см}$$, $$AC=7{,}5\text{ см}$$, угол $$A=135^\circ$$;
   б) $$AB=2\sqrt{2}\text{ дм}$$, $$BC=3\text{ дм}$$, угол $$B=45^\circ$$;
   в) $$AC=0{,}6\text{ м}$$, $$BC=\frac{\sqrt{3}}{4}\text{ дм}$$, угол $$C=150^\circ$$.
2. Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

а) По теореме косинусов найдём сторону $$BC$$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$$

$$BC^2=5^2+7{,}5^2-2\cdot 5\cdot 7{,}5\cdot \cos 135^\circ$$

$$BC^2=25+56{,}25-75\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=81{,}25+37{,}5\sqrt2$$

$$BC\approx 11{,}59\text{ см}$$

Теперь найдём угол $$B$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$

$$7{,}5^2=5^2+11{,}59^2-2\cdot 5\cdot 11{,}59\cdot \cos B$$

$$56{,}25\approx 25+134{,}28-115{,}9\cos B$$

$$115{,}9\cos B\approx 103{,}03,\qquad \cos B\approx 0{,}88895$$

$$\angle B\approx 27^\circ15′$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-135^\circ-27^\circ15’=17^\circ45′$$

б) Найдём сторону $$AC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$

$$AC^2=(2\sqrt2)^2+3^2-2\cdot 2\sqrt2\cdot 3\cdot \cos 45^\circ$$

$$AC^2=8+9-12\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=17-12=5$$

$$AC=\sqrt5\text{ дм}$$

Теперь найдём угол $$C$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C$$

$$8=5+9-2\cdot \sqrt5\cdot 3\cdot \cos C$$

$$6\sqrt5\cos C=6$$

$$\cos C=\frac{1}{\sqrt5}$$

$$\angle C\approx 63^\circ26′$$

Тогда

$$\angle A=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-45^\circ-63^\circ26’=71^\circ34′$$

в) Переведём длину $$AC$$ в дм:

$$AC=0{,}6\text{ м}=6\text{ дм}$$

Найдём сторону $$AB$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C$$

$$AB^2=6^2+\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^2-2\cdot 6\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot \cos 150^\circ$$

Так как $$\cos 150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$$, получаем:

$$AB^2=36+\frac{3}{16}+9\cdot \frac{3}{4}=36+\frac{3}{16}+\frac{27}{4}=40{,}6875$$

$$AB=6{,}375\text{ дм}$$

Теперь найдём угол $$B$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$$

$$36=40{,}6875+\frac{3}{16}-2\cdot 6{,}375\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot \cos B$$

$$2\cdot 6{,}375\cdot \frac{\sqrt3}{4}\cdot \cos B=4{,}875$$

$$\cos B\approx 0{,}8796$$

$$\angle B\approx 28^\circ24′$$

Тогда

$$\angle A=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-28^\circ24′-150^\circ=1^\circ36′$$

Ответ

а) $$BC\approx 11{,}59\text{ см},\ \angle B\approx 27^\circ15′,\ \angle C\approx 17^\circ45’$$;

б) $$AC=\sqrt5\text{ дм},\ \angle C\approx 63^\circ26′,\ \angle A\approx 71^\circ34’$$;

в) $$AB\approx 6{,}375\text{ дм},\ \angle B\approx 28^\circ24′,\ \angle A\approx 1^\circ36’$$.