Упр.115 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
2. Медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ равна отрезку $$BM$$. Докажите, что один из углов треугольника $$ABC$$ равен сумме двух других углов.

Пусть $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, причём $$AM=BM$$.

Тогда $$M$$ — середина отрезка $$BC$$, значит $$BM=MC$$. По условию также $$AM=BM$$, следовательно,

$$AM=BM=MC.$$

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$AMC$$.

В них:

• $$AM=AM$$ — общая сторона;
• $$BM=MC$$;
• $$AB$$ и $$AC$$ — стороны треугольника $$ABC$$.

Так как $$BM=MC$$ и $$AM=BM$$, то точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ равноудалены от точки $$M$$. Значит, точка $$M$$ — центр окружности, проходящей через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Тогда прямая $$AM$$, проходящая через центр и середину хорды $$BC$$, является серединным перпендикуляром к $$BC$$. Следовательно,

$$AB=AC.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Ответ

$$AB=AC$$, поэтому $$\triangle ABC$$ равнобедренный.