Упр.1149 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если: а) $$AB=8\text{ см}$$, угол $$A=30^\circ$$, угол $$B=45^\circ$$; б) $$AB=5\text{ см}$$, угол $$B=45^\circ$$, угол $$C=60^\circ$$; в) $$AB=3\text{ см}$$, $$BC=3{,}3\text{ см}$$, угол $$A=48^\circ30’$$; г) $$AC=10{,}4\text{ см}$$, $$BC=5{,}2\text{ см}$$, угол $$B=62^\circ48’$$.
- Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
Рассмотрим центральную симметрию с центром $$O$$.
а) Пусть прямая $$a$$ не проходит через центр симметрии $$O$$. Возьмём на ней любые точки $$A$$ и $$B$$ и обозначим их образы при симметрии через $$A’$$ и $$B’$$.
При центральной симметрии сохраняются расстояния, значит
$$AO=A’O,\qquad BO=B’O.$$
Кроме того, точки $$A,O,A’$$ лежат на одной прямой, и точки $$B,O,B’$$ тоже лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольники $$\triangle BOA$$ и $$\triangle B’OA’$$. У них
$$BO=B’O,\qquad AO=A’O,\qquad \angle BOA=\angle B’OA’$$
как вертикальные углы. Следовательно, $$\triangle BOA \cong \triangle B’OA’$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$\angle BAO=\angle B’A’O.$$
Так как точки $$A,O,A’$$ и $$B,O,B’$$ лежат на одной прямой, то прямые $$AB$$ и $$A’B’$$ образуют равные накрест лежащие углы с прямой $$AA’$$, значит
$$AB \parallel A’B’.$$
Но точки $$A$$ и $$B$$ лежат на прямой $$a$$, а точки $$A’$$ и $$B’$$ — на образе этой прямой $$a’$$. Следовательно, $$a \parallel a’.$$
б) Пусть прямая $$a$$ проходит через центр симметрии $$O$$. Возьмём на ней любую точку $$A$$ и обозначим её образ через $$A’$$.
Так как при центральной симметрии точка $$O$$ остаётся на месте, а точки $$A$$ и $$A’$$ лежат на одной прямой с центром симметрии, то точки $$A$$, $$O$$, $$A’$$ коллинеарны. Значит, образ точки $$A$$ снова лежит на прямой $$a$$.
Следовательно, каждая точка прямой $$a$$ переходит в точку этой же прямой, то есть прямая $$a$$ отображается на себя.
Ответ
а) Прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую.
б) Прямая, проходящая через центр симметрии, переходит в себя.
