Упр.1148 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

Подробный ответ

Пусть прямая $$a$$ при осевой симметрии относительно оси $$l$$ переходит в прямую $$a’$$.

а) Если $$a \parallel l$$, то $$a’ \parallel l$$

Возьмём на прямой $$a$$ любые две точки $$A$$ и $$B$$ и обозначим их образы через $$A’$$ и $$B’$$. При осевой симметрии сохраняются расстояния, значит

$$AA’=BB’$$.

Так как $$a \parallel l$$, то отрезки $$AA’$$ и $$BB’$$ перпендикулярны оси симметрии $$l$$. Следовательно, $$AA’ \parallel BB’$$.

В четырёхугольнике $$AA’B’B$$ противоположные стороны попарно параллельны и равны, значит это прямоугольник. Отсюда

$$A’B’ \parallel AB.$$

Но точки $$A’$$ и $$B’$$ лежат на образе прямой $$a’$$, значит $$A’B’ \subset a’$$. Следовательно, $$a’ \parallel a$$, а так как $$a \parallel l$$, то и $$a’ \parallel l$$.

б) Если $$a \perp l$$, то $$a’ = a$$

Возьмём на прямой $$a$$ произвольную точку $$A$$ и обозначим её образ через $$A’$$. При осевой симметрии отрезок $$AA’$$ перпендикулярен оси $$l$$. Но прямая $$a$$ тоже перпендикулярна $$l$$, значит через точку $$A$$ проходит единственная прямая, перпендикулярная $$l$$, и это прямая $$a$$. Следовательно, точка $$A’$$ лежит на $$a$$.

Так как образ любой точки прямой $$a$$ снова принадлежит этой же прямой, то прямая $$a$$ переходит сама в себя:

$$a’=a.$$