Упр.1142 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Вычислите скалярное произведение векторов $$a$$ и $$b$$, если $$a=3p-2q$$ и $$b=p+4q$$, где $$p$$ и $$q$$ — единичные взаимно перпендикулярные векторы.
- Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности.
Так как около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобокая, значит $$AB=CD.$$
Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AD.$$ Тогда в равнобокой трапеции середина основания $$AD$$ лежит на оси симметрии, а центр описанной окружности $$O$$ находится на этой оси. Обозначим через $$E$$ середину основания $$AD$$, тогда $$OE\perp AD.$$
Найдём высоту трапеции:
$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{14-4}{2}=5,$$
$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.$$
Пусть $$OE=x.$$ Тогда расстояние от центра окружности до вершины $$A$$ равно радиусу $$R$$, и в прямоугольном треугольнике $$OEA$$ имеем:
$$R^2=OE^2+AE^2=x^2+7^2=x^2+49.$$
С другой стороны, в прямоугольном треугольнике, построенном на высоте, получаем для вершины $$B$$:
$$R^2=OB^2=OE^2+BE^2=x^2+(12-x)^2.$$
Приравняем:
$$x^2+49=x^2+(12-x)^2,$$
$$49=144-24x+x^2,$$
$$x^2-24x+95=0,$$
$$x=5 \text{ или } x=19.$$
Так как $$OE$$ — расстояние от центра до основания, а оно меньше высоты, берём $$x=5.$$ Тогда
$$R^2=49+5^2=74,$$
$$R=\sqrt{74}.$$
Длина описанной окружности:
$$C=2\pi R=2\pi\sqrt{74}.$$
Ответ: $$2\pi\sqrt{74}$$.
