Упр.1141 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Вычислите скалярное произведение векторов $$\vec{p}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$$ и $$\vec{q}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$$, если $$|\vec{a}|=5$$, $$|\vec{b}|=2$$, $$|\vec{c}|=4$$ и $$\vec{a}$$ перпендикулярен $$\vec{b}$$.
- Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна $$6\ \text{см}$$. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.
Обозначим длины больших дуг через $$l_1$$ и $$l_2$$.
Для первой окружности хорда $$AB=6$$ см является стороной вписанного квадрата. Тогда центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $$90^\circ$$, а длина хорды выражается формулой
$$AB=2R_1\sin\frac{90^\circ}{2}=2R_1\sin45^\circ=R_1\sqrt2.$$
Отсюда
$$6=R_1\sqrt2,\qquad R_1=\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2.$$
Большая дуга этой окружности соответствует углу $$360^\circ-90^\circ=270^\circ$$, значит
$$l_1=\frac{2\pi R_1}{360^\circ}\cdot270^\circ=\frac{3}{4}\cdot2\pi R_1=\frac{3}{2}\pi R_1=\frac{9\sqrt2\pi}{2}.$$
Для второй окружности та же хорда $$AB=6$$ см является стороной вписанного правильного шестиугольника. Тогда центральный угол равен $$60^\circ$$, а для стороны правильного шестиугольника имеем
$$AB=2R_2\sin\frac{60^\circ}{2}=2R_2\sin30^\circ=R_2.$$
Следовательно,
$$R_2=6.$$
Большая дуга соответствует углу $$360^\circ-60^\circ=300^\circ$$, поэтому
$$l_2=\frac{2\pi R_2}{360^\circ}\cdot300^\circ=\frac{5}{6}\cdot2\pi R_2=10\pi.$$
Тогда сумма длин дуг равна
$$l_1+l_2=10\pi+\frac{9\sqrt2\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\left(20+9\sqrt2\right).$$
Ответ: $$\frac{\pi}{2}\left(20+9\sqrt2\right)\text{ см}.$$
