Упр.1140 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Известно, что $$\angle(\mathbf{a},\mathbf{c})=\angle(\mathbf{b},\mathbf{c})=60^\circ$$, $$|\mathbf{a}|=1$$, $$|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=2$$. Вычислите $$\left(\mathbf{a}+\mathbf{b}\right)\times\mathbf{c}$$.
2. В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.

Обозначим радиус вписанной окружности через $$r.$$ Тогда площадь круга равна

$$S_{\text{кр}}=\pi r^2,$$

а длина окружности —

$$C=2\pi r.$$

Площадь правильного многоугольника со вписанной окружностью выражается через его периметр $$P$$ так:

$$S_n=\frac12Pr.$$

Тогда

$$\frac{S_{\text{кр}}}{S_n}=\frac{\pi r^2}{\frac12Pr}=\frac{2\pi r}{P}.$$

Но $$2\pi r=C,$$ значит

$$\frac{S_{\text{кр}}}{S_n}=\frac{C}{P}.$$

Что и требовалось доказать.