Упр.114 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см. В Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

Подробный ответ

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$BC$$, то $$AB=AC$$. Обозначим $$AB=AC=x$$, $$BC=y$$, $$AM=m$$.

По условию периметр треугольника $$ABC$$ равен $$32$$ см, значит

$$2x+y=32.$$

Так как $$AM$$ — медиана, то $$BM=MC=\dfrac{y}{2}$$. Тогда периметр треугольника $$ABM$$ равен

$$x+\frac{y}{2}+m=24.$$

Из равенства $$2x+y=32$$ получаем

$$x+\frac{y}{2}=16.$$

Подставим это в периметр треугольника $$ABM$$:

$$16+m=24,$$

откуда

$$m=8.$$

Следовательно, $$AM=8$$ см.

Докажем утверждение. Пусть в равных треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ соответствующие стороны равны: $$AB=A_1B_1$$, $$AC=A_1C_1$$, $$BC=B_1C_1$$. Пусть $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы, проведённые к равным сторонам $$BC$$ и $$B_1C_1$$.

Тогда $$BM=\dfrac{BC}{2}$$ и $$B_1M_1=\dfrac{B_1C_1}{2}$$, а значит

$$BM=B_1M_1.$$

Кроме того, в равных треугольниках равны соответствующие углы, поэтому

$$\angle ABM=\angle A_1B_1M_1.$$

Следовательно, треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AB=A_1B_1,\quad BM=B_1M_1,\quad \angle ABM=\angle A_1B_1M_1.$$

Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих медиан:

$$AM=A_1M_1.$$