Упр.1138 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите углы треугольника с вершинами А (-1;корень3), В (1; -корень3) и C(1/2;корень3). Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диагонали ромба равны 6 см и 8 см; б) сторона ромба равна а и острый угол равен а.

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(-\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{2^2+(-2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4,$$
$$BC=\sqrt{\left(1-\frac12\right)^2+\left(-\sqrt3-\sqrt3\right)^2}=\sqrt{\frac14+12}=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac72,$$
$$AC=\sqrt{\left(\frac12-(-1)\right)^2+(\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{\left(\frac32\right)^2}=\frac32.$$

Теперь найдём угол $$\angle A$$ по формуле косинуса:

$$\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AB|\cdot |AC|}.$$

Векторы:

$$\overrightarrow{AB}=(2,-2\sqrt3), \qquad \overrightarrow{AC}=\left(\frac32,0\right).$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\cdot \frac32+(-2\sqrt3)\cdot 0=3,$$
$$\cos A=\frac{3}{4\cdot \frac32}=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Следовательно,

$$\angle A=60^\circ.$$

Найдём угол $$\angle C$$ по теореме косинусов:

$$AB^2=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos C,$$
$$16=\frac{49}{4}+\frac94-2\cdot \frac72\cdot \frac32\cdot \cos C.$$

$$16=\frac{58}{4}-\frac{21}{2}\cos C,$$
$$16=\frac{29}{2}-\frac{21}{2}\cos C,$$
$$32=29-21\cos C,$$
$$21\cos C=-3,$$
$$\cos C=-\frac17.$$

Значит,

$$\angle C\approx 98^\circ 13′.$$

Тогда

$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-60^\circ-98^\circ 13’=21^\circ 47′.$$

Итак, углы треугольника равны:

$$\angle A=60^\circ,\qquad \angle B=21^\circ 47′,\qquad \angle C=98^\circ 13′.$$