Упр.1138 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите углы треугольника с вершинами $$A(-1;\sqrt{3})$$, $$B(1;-\sqrt{3})$$ и $$C\left(\frac{1}{2};\sqrt{3}\right)$$.
- Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если:
а) диагонали ромба равны $$6\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$;
б) сторона ромба равна $$a$$ и острый угол равен $$a$$.
Пусть $$A(-1;\sqrt3),\quad B(1;-\sqrt3),\quad C\left(\frac12;\sqrt3\right).$$ Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:
$$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(-\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{2^2+(-2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4,$$
$$AC=\sqrt{\left(\frac12-(-1)\right)^2+(\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{\left(\frac32\right)^2}=\frac32,$$
$$BC=\sqrt{\left(1-\frac12\right)^2+(-\sqrt3-\sqrt3)^2}=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+( -2\sqrt3)^2} =\sqrt{\frac14+12}=\frac72.$$
Теперь найдём углы треугольника по теореме косинусов.
Для угла $$A$$:
$$\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} =\frac{16+\frac94-\frac{49}{4}}{2\cdot 4\cdot \frac32} =\frac{16-10}{12}=\frac12,$$
значит,
$$\angle A=60^\circ.$$
Для угла $$C$$:
$$\cos C=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC} =\frac{\frac94+\frac{49}{4}-16}{2\cdot \frac32\cdot \frac72} =\frac{-\frac{6}{4}}{\frac{21}{2}}=-\frac17.$$
Следовательно,
$$\angle C\approx 98^\circ13′.$$
Тогда
$$\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-60^\circ-98^\circ13’=21^\circ47′.$$
Ответ: $$\angle A=60^\circ,\quad \angle B=21^\circ47′,\quad \angle C=98^\circ13′.$$
