Упр.1137 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите косинусы углов треугольника с вершинами $$A(2; 8)$$, $$B(-1; 5)$$, $$C(3; 1)$$.
- За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космический корабль проделал путь $$84\,152\ \text{км}$$. На какой высоте над поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли равен $$6370\ \text{км}$$?
Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:
$$AB=\sqrt{(2-(-1))^2+(8-5)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2},$$
$$BC=\sqrt{(3-(-1))^2+(1-5)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2},$$
$$AC=\sqrt{(3-2)^2+(1-8)^2}=\sqrt{1^2+(-7)^2}=5\sqrt{2}.$$
Теперь применим теорему косинусов.
Для угла $$A$$:
$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A,$$
$$\left(4\sqrt{2}\right)^2=\left(3\sqrt{2}\right)^2+\left(5\sqrt{2}\right)^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \cos A,$$
$$32=18+50-60\cos A,$$
$$60\cos A=36,$$
$$\cos A=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}=0{,}6.$$
Для угла $$B$$:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B,$$
$$\left(5\sqrt{2}\right)^2=\left(3\sqrt{2}\right)^2+\left(4\sqrt{2}\right)^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot \cos B,$$
$$50=18+32-48\cos B,$$
$$48\cos B=0,$$
$$\cos B=0.$$
Для угла $$C$$:
$$AB^2=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos C,$$
$$\left(3\sqrt{2}\right)^2=\left(4\sqrt{2}\right)^2+\left(5\sqrt{2}\right)^2-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \cos C,$$
$$18=32+50-80\cos C,$$
$$80\cos C=64,$$
$$\cos C=\frac{64}{80}=\frac{4}{5}=0{,}8.$$
Ответ: $$\cos A=0{,}6,\ \cos B=0,\ \cos C=0{,}8.$$
