Упр.1136 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: При каком значении х векторы а и b перпендикулярны, если: а) a {4; 5}, b {x; -6}; б) а{x;-1}, b{3; 2}; в) а {0;-3}, b{5; x}? Квадрат А1A2А3А4 вписан в окружность радиуса R (рис. 320). На его сторонах отмечены восемь точек так, что А1В1 = А2В2 = А3В3 = А4В4 = A1C1 = А2С2 = А3С3=А4С4 = R. Докажите, что восьмиугольник В1С3В2С4В3С1В4С2 правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности, в которую вписан квадрат $$A_1A_2A_3A_4$$. Тогда его диагонали являются диаметрами окружности, а значит

$$A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_1=R\sqrt{2}.$$

По условию $$A_1B_1=A_2B_2=A_3B_3=A_4B_4=R$$ и $$A_1C_1=A_2C_2=A_3C_3=A_4C_4=R$$.

Рассмотрим сторону $$B_1C_2$$. Из равенства $$A_1B_1=R$$ и $$A_1C_1=R$$ получаем, что точки $$B_1$$ и $$C_1$$ делят сторону квадрата так, что

$$B_1A_2=A_1A_2-A_1B_1=R\sqrt{2}-R=R(\sqrt{2}-1).$$

Аналогично

$$C_2A_3=R(\sqrt{2}-1).$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$A_2B_1C_2$$ по теореме Пифагора

$$B_1C_2^2=B_1A_2^2+C_2A_2^2-2\cdot B_1A_2\cdot C_2A_2\cos 45^\circ,$$

откуда

$$B_1C_2=R\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$

Аналогично получаем, что все стороны восьмиугольника равны:

$$B_1C_2=C_2B_3=B_3C_4=C_4B_1=B_2C_3=C_3B_4=B_4C_1=C_1B_2.$$

Следовательно, восьмиугольник $$B_1C_2B_3C_4B_1\ldots$$ является правильным. В обозначениях задачи это означает, что восьмиугольник $$B_1C_3B_2C_4B_3C_1B_4C_2$$ правильный.

Теперь найдём его площадь. Площадь правильного восьмиугольника равна сумме площадей 8 равных треугольников с вершиной в центре $$O$$:

$$S_8=8\cdot S_{OB_1C_2}.$$

Так как $$OB_1=OC_2=R\sqrt{2-\sqrt{2}}$$ и $$\angle B_1OC_2=45^\circ$$, то

$$ S_{OB_1C_2}=\frac12\cdot OB_1\cdot OC_2\cdot \sin 45^\circ =\frac12\cdot R^2(2-\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{(\sqrt{2}-1)R^2}{2}. $$

Тогда

$$ S_8=8\cdot \frac{(\sqrt{2}-1)R^2}{2}=4(\sqrt{2}-1)R^2. $$