Упр.1136 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

При каком значении $$x$$ векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ перпендикулярны, если:
а) $$\vec{a}=\{4; 5\},\ \vec{b}=\{x; -6\}$$;
б) $$\vec{a}=\{x; -1\},\ \vec{b}=\{3; 2\}$$;
в) $$\vec{a}=\{0; -3\},\ \vec{b}=\{5; x\}$$?
Квадрат $$A_1A_2A_3A_4$$ вписан в окружность радиуса $$R$$ (рис. 320). На его сторонах отмечены восемь точек так, что $$A_1B_1=A_2B_2=A_3B_3=A_4B_4=A_1C_1=A_2C_2=A_3C_3=A_4C_4=R$$. Докажите, что восьмиугольник $$B_1C_3B_2C_4B_3C_1B_4C_2$$ правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус $$R$$.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности. Так как квадрат $$A_1A_2A_3A_4$$ вписан в окружность радиуса $$R$$, то его диагональ равна $$2R$$, а сторона

$$A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_1=R\sqrt2.$$

По условию

$$A_1B_1=A_2B_2=A_3B_3=A_4B_4=A_1C_1=A_2C_2=A_3C_3=A_4C_4=R.$$

Тогда на стороне $$A_1A_2$$ имеем

$$B_1A_2=A_1A_2-A_1B_1=R\sqrt2-R=R(\sqrt2-1),$$

и аналогично для всех остальных отмеченных точек.

Рассмотрим, например, треугольник $$B_1OC_2$$. Так как радиусы, проведённые к вершинам квадрата, образуют угол $$90^\circ$$, а точки $$B_1$$ и $$C_2$$ отстоят от соседних вершин на одинаковые отрезки, то

$$\angle B_1OC_2=45^\circ.$$

По теореме косинусов в треугольнике $$B_1OC_2$$:

$$B_1C_2^2=OB_1^2+OC_2^2-2\cdot OB_1\cdot OC_2\cos45^\circ.$$

Здесь

$$OB_1=OC_2=R(\sqrt2-1),$$

поэтому

$$B_1C_2^2=2R^2(\sqrt2-1)^2-2R^2(\sqrt2-1)^2\cdot \frac{\sqrt2}{2} =R^2(2-\sqrt2)^2.$$

Следовательно,

$$B_1C_2=R(2-\sqrt2).$$

Аналогично получаем, что все стороны восьмиугольника $$B_1C_3B_2C_4B_3C_1B_4C_2$$ равны между собой. Его углы также равны, значит, это правильный восьмиугольник.

Найдём его площадь. Площадь правильного восьмиугольника со стороной $$a$$ равна

$$S_8=2(1+\sqrt2)a^2.$$

Подставим $$a=R(2-\sqrt2)$$:

$$S_8=2(1+\sqrt2)\,R^2(2-\sqrt2)^2.$$

Так как

$$(2-\sqrt2)^2=6-4\sqrt2,$$

то

$$S_8=2(1+\sqrt2)(6-4\sqrt2)R^2=4(\sqrt2-1)R^2.$$