Упр.1135 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что векторы $$\mathbf{i}+\mathbf{j}$$ и $$\mathbf{i}-\mathbf{j}$$ перпендикулярны, если $$\mathbf{i}$$ и $$\mathbf{j}$$ — координатные векторы.
2. В круг, площадь которого равна $$36\pi\ \text{см}^2$$, вписан правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его площадь.

Площадь круга равна $$36\pi\text{ см}^2$$, значит

$$\pi R^2=36\pi,$$

откуда

$$R^2=36,\qquad R=6\text{ см}.$$

В правильном шестиугольнике, вписанном в окружность, сторона равна радиусу окружности, поэтому

$$a=6\text{ см}.$$

Тогда периметр шестиугольника

$$P=6a=6\cdot 6=36\text{ см}.$$

Апофема правильного шестиугольника равна

$$r=R\cos 30^\circ=6\cdot \frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\text{ см}.$$

Площадь шестиугольника:

$$S=\frac12Pr=\frac12\cdot 36\cdot 3\sqrt3=54\sqrt3\text{ см}^2.$$

Ответ: $$6\text{ см},\ 54\sqrt3\text{ см}^2.$$