Упр.1134 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что ненулевые векторы $$\vec a=(x;y)$$ и $$\vec b=(-y;x)$$ перпендикулярны.
Диагонали $$A_1A_4$$ и $$A_2A_7$$ правильного десятиугольника $$A_1A_2\ldots A_{10}$$, вписанного в окружность радиуса $$R$$, пересекаются в точке $$B$$ (рис. 319). Докажите, что:
а) $$A_2A_7=2R$$;
б) $$\triangle A_1A_2B$$ и $$\triangle BA_4O$$ — подобные равнобедренные треугольники;
в) $$A_1A_4-A_1A_2=R$$.

Подробный ответ

Обозначим центр окружности буквой $$O$$.

Ход решения

а) Рассмотрим центральный угол $$\angle A_2OA_7$$. Так как $$A_2A_7$$ — диагональ правильного десятиугольника, то соответствующая ей дуга содержит $$5$$ сторон, значит

$$\angle A_2OA_7=5\cdot 36^\circ=180^\circ.$$

Следовательно, точки $$A_2, O, A_7$$ лежат на одной прямой, то есть $$A_2A_7$$ — диаметр окружности. Тогда

$$A_2A_7=2R.$$

б) В правильном десятиугольнике все дуги между соседними вершинами равны, поэтому

$$\overset{\frown}{A_1A_2}=\overset{\frown}{A_2A_3}=\dots=\overset{\frown}{A_9A_{10}}=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$

Тогда

$$\angle A_1A_2B=\frac{1}{2}\overset{\frown}{A_1A_4}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 36^\circ=54^\circ,$$

а также

$$\angle A_4BO=\angle A_4BA_1=\frac{1}{2}\overset{\frown}{A_4A_1}=54^\circ.$$

Кроме того,

$$\angle A_1=\angle A_4=72^\circ,$$

так как это углы правильного десятиугольника.