Упр.1132 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. К одной и той же точке приложены две силы $$Р$$ и $$Q$$, действующие под углом $$120^\circ$$ друг к другу, причём $$|Р|=8$$, $$|Q|=15$$. Найдите величину равнодействующей силы $$R$$.
2. Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.

Обозначим через $$a_3$$ и $$a_4$$ стороны правильного треугольника и квадрата, а через $$R$$ — радиус общей окружности.

Для правильного многоугольника со стороной $$a$$ и числом сторон $$n$$ выполняется формула

$$a=2R\sin\frac{180^\circ}{n}.$$

Тогда для правильного треугольника

$$a_3=2R\sin 60^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3,$$

а его периметр равен

$$P_3=3a_3=3R\sqrt3.$$

Для квадрата

$$a_4=2R\sin 45^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2,$$

поэтому

$$P_4=4a_4=4R\sqrt2.$$

Следовательно,

$$\frac{P_3}{P_4}=\frac{3R\sqrt3}{4R\sqrt2}=\frac{3\sqrt6}{8}.$$

Ответ: $$\frac{3\sqrt6}{8}$$.