Упр.1130 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вычислите скалярное произведение векторов $$\vec a$$ и $$\vec b$$, если $$|\vec a|=2$$, $$|\vec b|=3$$, а угол между ними равен: а) $$45^\circ$$; б) $$90^\circ$$; в) $$135^\circ$$.
2. На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$3\ дм$$, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Пусть сторона правильного треугольника равна $$a_3$$. Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R=3$$ дм, имеем

$$a_3=2R\sin 60^\circ=2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ дм}.$$

Сторона квадрата построена на стороне этого треугольника, значит

$$a_4=a_3=3\sqrt{3}\text{ дм}.$$

Для квадрата радиус описанной окружности равен половине его диагонали. Диагональ квадрата:

$$d=a_4\sqrt{2}=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{6}.$$

Тогда

$$R_{\text{кв}}=\frac{d}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}\text{ дм}.$$

Ответ

$$\frac{3\sqrt{6}}{2}\text{ дм}.$$