Упр.1130 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вычислите скалярное произведение векторов а и b, если | а | = 2, | b | = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°. На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Подробный ответ

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$3$$ дм, выражается через радиус описанной окружности формулой

$$a_3=2R\sin\frac{180^\circ}{3}=2\cdot 3\cdot \sin 60^\circ=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ дм}.$$

Эта сторона является стороной квадрата, значит

$$a_4=3\sqrt{3}\text{ дм}.$$

Для квадрата радиус описанной окружности равен половине его диагонали:

$$a_4=2R\sin\frac{180^\circ}{4}=2R\sin 45^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2}.$$

Тогда

$$3\sqrt{3}=R\sqrt{2},$$

откуда

$$R=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}\text{ дм}.$$