Упр.1128 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС; б) АВ и DA; в) ОА и ОВ; г) АО и ОВ; д) ОА и ОС; е) АС и BD; ж) AD и DB; з) АО и ОС. Сторона квадрата, изображённого на рисунке 317, равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры.

Рассмотрим квадрат $$ABCD$$. Его диагонали пересекаются в точке $$O$$. Используем свойства квадрата: соседние стороны перпендикулярны, диагонали делят углы квадрата пополам и пересекаются под прямым углом.

Тогда:

а) угол между $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ равен $$45^\circ$$, так как диагональ квадрата делит угол $$A$$ пополам;

б) угол между $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$ равен $$90^\circ$$, так как $$AB \perp AD$$;

в) угол между $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$ равен $$90^\circ$$, так как диагонали квадрата перпендикулярны;

г) угол между $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$ равен $$90^\circ$$;

д) угол между $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$ равен $$180^\circ$$, так как это противоположно направленные векторы одной диагонали;

е) угол между $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ равен $$90^\circ$$, так как диагонали квадрата перпендикулярны;

ж) угол между $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{DB}$$ равен $$135^\circ$$. Действительно, диагональ $$DB$$ образует с стороной квадрата угол $$45^\circ$$, а вектор $$\overrightarrow{AD}$$ направлен противоположно стороне $$\overrightarrow{DA}$$, поэтому искомый угол равен $$180^\circ-45^\circ=135^\circ$$;

з) угол между $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$ равен $$0^\circ$$, так как эти векторы сонаправлены.

Во второй задаче квадрат имеет сторону $$a$$. Тогда его площадь равна $$S_{ABCD}=a^2$$. Закрашенная фигура состоит из четырёх одинаковых частей, каждая из которых — сектор круга радиуса $$\frac{a}{2}$$ с центральным углом $$90^\circ$$.

Площадь одного сектора:

$$ S_1=\frac{\pi R^2}{360^\circ}\cdot 90^\circ =\frac{\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2}{4} =\frac{\pi a^2}{16}. $$

Тогда площадь закрашенной фигуры:

$$ S_{\text{закр}}=4S_1=4\cdot \frac{\pi a^2}{16}=\frac{\pi a^2}{4}. $$

Искомая площадь незакрашенной части:

$$ S_{\text{ост}}=a^2-\frac{\pi a^2}{4} =a^2\left(1-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{a^2(4-\pi)}{4}. $$

Ответ

а) $$45^\circ$$; б) $$90^\circ$$; в) $$90^\circ$$; г) $$90^\circ$$; д) $$180^\circ$$; е) $$90^\circ$$; ж) $$135^\circ$$; з) $$0^\circ$$; $$S=\frac{a^2(4-\pi)}{4}$$.