Упр.1128 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагонали квадрата $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите угол между векторами: а) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$; б) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; в) $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$; г) $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$; д) $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$; е) $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$; ж) $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{DB}$$; з) $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$.
- Сторона квадрата, изображённого на рисунке 317, равна $$a$$. Вычислите площадь закрашенной фигуры.
Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда диагонали квадрата пересекаются в точке $$O$$, причём они делят углы квадрата пополам, а также перпендикулярны друг другу.
Ход решения
а) Диагональ $$AC$$ делит угол $$A$$ пополам, поэтому
$$\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=45^\circ.$$
б) Стороны квадрата $$AB$$ и $$AD$$ перпендикулярны, значит
$$\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA})=90^\circ.$$
в) Векторы $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$ направлены вдоль диагоналей квадрата, а диагонали перпендикулярны, следовательно
$$\angle(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=90^\circ.$$
г) Векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$ также лежат на перпендикулярных диагоналях, значит
$$\angle(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{OB})=90^\circ.$$
д) Векторы $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$ направлены в противоположные стороны одной прямой, поэтому
$$\angle(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})=180^\circ.$$
е) Диагонали квадрата перпендикулярны, значит
$$\angle(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})=90^\circ.$$
ж) Угол между стороной $$AD$$ и диагональю $$DB$$ равен половине прямого угла:
$$\angle(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DB})=45^\circ.$$
з) Векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны, поэтому
$$\angle(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{OC})=180^\circ.$$
Ответ
а) $$45^\circ$$; б) $$90^\circ$$; в) $$90^\circ$$; г) $$90^\circ$$; д) $$180^\circ$$; е) $$90^\circ$$; ж) $$45^\circ$$; з) $$180^\circ$$.
