Упр.1127 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом $$60^\circ$$ к горизонту, а потом с её основания С под углом $$30^\circ$$. Найдите высоту $$H$$ горы.
- Задание учебника 2023 года. Площадь сектора с центральным углом $$72^\circ$$ равна $$S$$. Найдите радиус сектора.
Обозначим через $$CK$$ высоту горы, а через $$BC=100$$ м — высоту башни. Пусть $$A$$ — предмет у подножия горы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCD$$, где $$D$$ — точка пересечения луча зрения из $$B$$ с горизонталью через $$C$$. Тогда
$$\angle CBD=90^\circ-60^\circ=30^\circ,$$
следовательно,
$$\angle BDC=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$
Так как углы $$\angle BDC$$ и $$\angle CDA$$ смежные, то
$$\angle CDA=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$DAC$$:
$$\angle DAC=180^\circ-(120^\circ+30^\circ)=30^\circ.$$
Значит, $$\angle DAC=\angle DCA=30^\circ$$, поэтому треугольник $$DAC$$ равнобедренный, и
$$CD=DA.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CKA$$. В нём
$$\angle ACK=90^\circ-30^\circ=60^\circ,$$
откуда
$$\angle CAK=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$
Следовательно, треугольник $$BCA$$ равнобедренный, так как
$$\angle CBA=\angle BAC=30^\circ,$$
значит,
$$BC=CA=100\text{ м}.$$
Тогда
$$CK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 100=50\text{ м}.$$
Ответ
$$50\text{ м}$$
