Упр.1125 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Наблюдатель находится на расстоянии $$50\ \text{м}$$ от башни, высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он видит под углом $$2^\circ$$ к горизонту, а вершину — под углом $$45^\circ$$ к горизонту. Какова высота башни?
2. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Пусть $$R$$ — радиус полукруга, построенного на гипотенузе $$AB$$, а $$r_1$$ и $$r_2$$ — радиусы полукругов, построенных на катетах $$AC$$ и $$CB$$.

Так как площадь полукруга равна половине площади круга, то

$$S_{AB}=\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{AB}{2}\right)^2=\frac{\pi AB^2}{8},$$
$$S_{AC}=\frac{1}{2}\pi r_1^2=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{AC}{2}\right)^2=\frac{\pi AC^2}{8},$$
$$S_{CB}=\frac{1}{2}\pi r_2^2=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{CB}{2}\right)^2=\frac{\pi CB^2}{8}.$$

Треугольник $$ABC$$ прямоугольный, значит по теореме Пифагора

$$AB^2=AC^2+CB^2.$$

Умножим это равенство на $$\frac{\pi}{8}$$:

$$\frac{\pi AB^2}{8}=\frac{\pi AC^2}{8}+\frac{\pi CB^2}{8}.$$

Следовательно,

$$S_{AB}=S_{AC}+S_{CB}.$$

Что и требовалось доказать.