Упр.1123 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции. Из круга радиуса r вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга.
1) Обозначим меньшее основание трапеции через $$x$$. Тогда боковые стороны тоже равны $$x$$, а большее основание равно $$10$$ см.
Опустим из верхних вершин перпендикуляры на большее основание. Получатся два равных прямоугольных треугольника, в каждом из которых гипотенуза равна $$x$$, а прилежащий к углу $$70^\circ$$ катет равен
$$\frac{10-x}{2}.$$
По определению косинуса:
$$\cos 70^\circ=\frac{(10-x)/2}{x}.$$
Так как $$\cos 70^\circ \approx 0{,}342$$, получаем
$$0{,}342=\frac{10-x}{2x}.$$
Умножим на $$2x$$:
$$0{,}684x=10-x,$$
$$1{,}684x=10,$$
$$x\approx 5{,}94 \approx 6.$$
Тогда периметр трапеции:
$$P=AB+BC+CD+AD=x+x+x+10=3x+10=3\cdot 6+10=28.$$
2) Квадрат вписан в окружность радиуса $$r$$, значит его диагональ равна диаметру окружности:
$$d=2r.$$
Площадь квадрата через диагональ:
$$S_{\square}=\frac{d^2}{2}=\frac{(2r)^2}{2}=2r^2.$$
Площадь круга:
$$S_{\text{круга}}=\pi r^2.$$
Тогда площадь оставшейся части круга равна
$$S=\pi r^2-2r^2=r^2(\pi-2).$$
Ответ
1) $$28$$ см; 2) $$r^2(\pi-2)$$.
