Упр.1122 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
2. Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен $$3\ \text{м}$$, проложена дорожка шириной $$1\ \text{м}$$. Сколько нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на $$1\ \text{м}^2$$ дорожки требуется $$0{,}8\ \text{дм}^3$$ песка?

Пусть $$R$$ — радиус описанной окружности около треугольника $$ABC$$. Тогда сторона $$BC$$ является хордой этой окружности, а угол $$\angle A$$ опирается на ту же дугу $$BC$$.

Проведём диаметр $$BA_1$$ описанной окружности. Тогда в треугольнике $$BA_1C$$ угол $$\angle A_1CB=90^\circ$$, значит

$$BC=BA_1\sin\angle A_1.$$

Так как точки $$A$$ и $$A_1$$ лежат на одной окружности и опираются на одну дугу $$BC$$, то

$$\angle A_1=\angle A.$$

Кроме того, $$BA_1=2R$$, поэтому

$$BC=2R\sin\angle A.$$

Отсюда

$$\frac{BC}{\sin\angle A}=2R.$$

Что и требовалось доказать.