Упр.1120 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) $$5, 4 и 4$$; б) $$17, 8 и 15$$; в) $$9, 5 и 6$$.
2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами $$R_1$$ и $$R_2$$, $$R_1

а) Пусть стороны треугольника равны $$a=5,\; b=4,\; c=4.$$ Наибольшая сторона — $$a=5.$$

По теореме косинусов:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$$25=16+16-2\cdot 4\cdot 4\cos A$$

$$25=32-32\cos A$$

$$32\cos A=7,\qquad \cos A=\frac{7}{32}>0.$$

Значит, $$\angle A<90^\circ,$$ и треугольник остроугольный.

б) Пусть $$a=17,\; b=8,\; c=15.$$ Наибольшая сторона — $$a=17.$$

По теореме косинусов:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$$289=64+225-2\cdot 8\cdot 15\cos A$$

$$289=289-240\cos A$$

$$240\cos A=0,\qquad \cos A=0.$$

Следовательно, $$\angle A=90^\circ,$$ треугольник прямоугольный.

в) Пусть $$a=9,\; b=5,\; c=6.$$ Наибольшая сторона — $$a=9.$$

По теореме косинусов:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$$81=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cos A$$

$$81=61-60\cos A$$

$$60\cos A=-20,\qquad \cos A=-\frac13<0.$$

Значит, $$\angle A>90^\circ,$$ треугольник тупоугольный.

Ответ

а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.