Упр.1119 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Смежные стороны параллелограмма равны $$a$$ и $$b$$, а один из его углов равен $$a$$. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.
2. Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диаметр и площадь арены.

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, $$AB=a$$, $$AD=b$$, $$\angle A=\alpha$$. Обозначим диагонали через $$AC$$ и $$BD$$, а точку их пересечения — через $$O$$.

По теореме косинусов в треугольниках $$ABD$$ и $$ABC$$ получаем:

$$BD^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha,$$

$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cos(180^\circ-\alpha)=a^2+b^2+2ab\cos\alpha.$$

Значит,

$$BD=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha},$$

$$AC=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}.$$

Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то

$$BO=\frac{BD}{2}, \qquad AO=\frac{AC}{2}.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$a^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cos\angle AOB.$$

Подставим найденные выражения:

$$a^2=\frac{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}{4}+\frac{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}{4}-2\cdot \frac{\sqrt{(a^2+b^2+2ab\cos\alpha)(a^2+b^2-2ab\cos\alpha)}}{4}\cos\angle AOB.$$

После упрощения получаем:

$$\cos\angle AOB=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\cos^2\alpha}}.$$

Следовательно,

$$\angle AOB=\arccos\frac{a^2-b^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\cos^2\alpha}}.$$

Ответ: $$BD=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha},\quad AC=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha},\quad \angle AOB=\arccos\frac{a^2-b^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\cos^2\alpha}}.$$