Упр.1119 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Смежные стороны параллелограмма равны а и b, а один из его углов равен а. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними. Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диаметр и площадь арены.
1) Для параллелограмма диагонали выражаются через стороны и угол между ними по теореме косинусов:
$$BD^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha,$$
$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cos(180^\circ-\alpha)=a^2+b^2+2ab\cos\alpha.$$
Значит,
$$BD=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha},$$
$$AC=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}.$$
Чтобы найти угол между диагоналями, рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Тогда
$$BO=\frac{BD}{2}, \qquad AO=\frac{AC}{2}.$$
По теореме косинусов для треугольника $AOB$:
$$a^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cos\angle AOB.$$
Подставляя найденные выражения, получаем
$$\cos\angle AOB=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\cos^2\alpha}}.$$
Следовательно, угол между диагоналями равен
$$\angle AOB=\arccos\!\left(\frac{a^2-b^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\cos^2\alpha}}\right).$$
2) Для окружности арены используем формулу длины окружности:
$$C=2\pi R.$$
Тогда
$$R=\frac{C}{2\pi}=\frac{41}{2\cdot 3{,}14}\approx 6{,}53\text{ м}.$$
Диаметр:
$$d=2R\approx 2\cdot 6{,}53=13{,}06\text{ м}.$$
Площадь арены:
$$S=\pi R^2\approx 3{,}14\cdot 6{,}53^2\approx 133{,}89\text{ м}^2.$$
Ответ
$$BD=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}, \qquad AC=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha},$$
$$\angle AOB=\arccos\!\left(\frac{a^2-b^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\cos^2\alpha}}\right);$$
$$d=13{,}06\text{ м}, \qquad S=133{,}89\text{ м}^2.$$
