Упр.1117 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В параллелограмме ABCD AD = 71/3м, BD = 4,4 м, ZA = 22°30′. Найдите угол BDC и угол DBC. Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом а; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом а.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. По теореме синусов:

$$\frac{BD}{\sin \angle BAD}=\frac{AD}{\sin \angle ABD}.$$

Тогда

$$\sin \angle ABD=\frac{AD\cdot \sin \angle BAD}{BD}.$$

Подставим данные:

$$\sin \angle ABD=\frac{7\frac{1}{3}\cdot \sin 22^\circ 30′}{4{,}4}\approx \frac{7{,}33\cdot 0{,}38}{4{,}4}\approx 0{,}6378.$$

Отсюда

$$\angle ABD\approx 39^\circ 38′.$$

Теперь найдём угол $$ADB$$:

$$\angle ADB=180^\circ-\left(\angle BAD+\angle ABD\right)=180^\circ-\left(22^\circ 30’+39^\circ 38’\right)=117^\circ 52′.$$

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит $$AB\parallel CD$$ и $$AD\parallel BC$$. Поэтому

$$\angle BDC=\angle ABD\approx 39^\circ 38′,$$

а как накрест лежащие углы

$$\angle DBC=\angle ADB\approx 117^\circ 52′.$$

а) Для равностороннего треугольника со стороной $$a$$ радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Тогда площадь круга:

$$S=\pi r^2=\pi\left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2=\frac{\pi a^2}{12}.$$

б) Пусть в прямоугольном треугольнике катет равен $$a$$, а прилежащий к нему острый угол равен $$\alpha$$. Тогда

$$\tan \alpha=\frac{AC}{BC}, \qquad \cos \alpha=\frac{BC}{AB}.$$

Отсюда

$$AC=a\tan \alpha,\qquad AB=\frac{a}{\cos \alpha}.$$

Для радиуса вписанной окружности получаем

$$r=\frac{a\left(\sin \alpha+\cos \alpha-1\right)}{2\cos \alpha}.$$

Следовательно,

$$S=\pi r^2=\frac{\pi a^2\left(\sin \alpha+\cos \alpha-1\right)^2}{4\cos^2 \alpha}.$$

в) В равнобедренном треугольнике с боковой стороной $$a$$ и углом $$\alpha$$, противолежащим основанию, биссектриса вершины делит угол пополам. Тогда

$$r=\frac{a\sin \alpha}{2\left(1+\sin \frac{\alpha}{2}\right)}.$$

Значит, площадь вписанного круга равна

$$S=\pi r^2=\frac{\pi a^2\sin^2 \alpha}{4\left(1+\sin \frac{\alpha}{2}\right)^2}.$$

г) В равнобедренной трапеции с большим основанием $$a$$ и острым углом $$\alpha$$ радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{a}{2}\tan \frac{\alpha}{2}.$$

Тогда

$$S=\pi r^2=\pi\left(\frac{a}{2}\tan \frac{\alpha}{2}\right)^2=\frac{\pi a^2\tan^2 \frac{\alpha}{2}}{4}.$$

Ответ

$$\angle BDC=39^\circ 38′, \qquad \angle DBC=117^\circ 52′.$$

а) $$S=\frac{\pi a^2}{12}.$$

б) $$S=\frac{\pi a^2\left(\sin \alpha+\cos \alpha-1\right)^2}{4\cos^2 \alpha}.$$

в) $$S=\frac{\pi a^2\sin^2 \alpha}{4\left(1+\sin \frac{\alpha}{2}\right)^2}.$$

г) $$S=\frac{\pi a^2\tan^2 \frac{\alpha}{2}}{4}.$$