Упр.1116 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите стороны треугольника ABC, если $$\angle A=45^\circ$$, $$\angle C=30^\circ$$, а высота $$AD$$ равна 3 м.
Найдите площадь круга, описанного около:
а) прямоугольника со сторонами $$a$$ и $$b$$;
б) прямоугольного треугольника с катетом $$a$$ и противолежащим углом $$a$$;
в) равнобедренного треугольника с основанием $$a$$ и высотой $$h$$, проведённой к основанию.

Подробный ответ

а) Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, а $$O$$ — центр описанной около него окружности. Тогда диагональ прямоугольника является диаметром окружности, значит

$$AC=BD.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $$ABD$$:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{b^2+a^2}.$$

Следовательно, радиус окружности

$$R=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

Тогда площадь круга равна

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2=\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}.$$

б) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ гипотенуза $$AB$$ является диаметром описанной окружности. Тогда

$$AB=2R.$$

Из определения синуса угла $$A$$:

$$\sin \angle A=\frac{BC}{AB}.$$

Так как $$BC=a$$ и $$\angle A=\alpha$$, получаем

$$\sin \alpha=\frac{a}{AB}, \qquad AB=\frac{a}{\sin \alpha}.$$

Значит,

$$R=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2\sin \alpha}.$$

Тогда площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{a}{2\sin \alpha}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4\sin^2 \alpha}.$$

в) В равнобедренном треугольнике высота $$BH$$, проведённая к основанию $$AC$$, является также медианой. Пусть $$O$$ — центр описанной окружности. Тогда $$O$$ лежит на высоте $$BH$$, а расстояние от центра до хорды $$AC$$ равно

$$OH=BH-OB=h-R.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCH$$:

$$OC^2=OH^2+CH^2.$$

Так как $$OC=R$$, $$CH=\dfrac{a}{2}$$, то

$$R^2=(h-R)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$R^2=h^2-2hR+R^2+\frac{a^2}{4}.$$

Отсюда

$$2hR=h^2+\frac{a^2}{4},$$

$$R=\frac{4h^2+a^2}{8h}.$$

Теперь найдём площадь круга:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{4h^2+a^2}{8h}\right)^2=\frac{\pi(4h^2+a^2)^2}{64h^2}.$$