Упр.1114 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник $$ABC$$, если:
а) угол $$A = 60^\circ$$, угол $$B = 40^\circ$$, $$c = 14$$;
б) угол $$A = 30^\circ$$, угол $$C = 75^\circ$$, $$b = 4{,}5$$;
г) угол $$B = 45^\circ$$, угол $$C = 70^\circ$$, $$a = 24{,}6$$;
е) $$a = 6{,}3$$, $$b = 6{,}3$$, угол $$C = 54^\circ$$;
з) $$a = 14$$, $$b = 18$$, $$c = 20$$;
в) угол $$A = 80^\circ$$, $$a = 16$$, $$b = 10$$;
д) угол $$A = 60^\circ$$, $$a = 10$$, $$b = 7$$;
ж) $$b = 32$$, $$c = 45$$, угол $$A = 87^\circ$$;
и) $$a = 6$$, $$b = 7{,}3$$, $$c = 4{,}8$$. - Перечертите таблицу и, используя формулу для площади $$S$$ круга радиуса $$R$$, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь значением $$\pi = 3{,}14$$.
а) $$\angle C=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ.$$
По теореме синусов:
$$\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}.$$
Тогда
$$a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{14\sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}\approx \frac{14\cdot 0{,}8660}{0{,}9848}\approx 12{,}31,$$
$$b=\frac{c\sin B}{\sin C}=\frac{14\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}\approx \frac{14\cdot 0{,}6428}{0{,}9848}\approx 9{,}14.$$
б) $$\angle B=180^\circ-30^\circ-75^\circ=75^\circ.$$
Так как $$\angle B=\angle C,$$ то треугольник равнобедренный, значит $$b=c=4{,}5.$$
По теореме синусов:
$$a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{4{,}5\sin 30^\circ}{\sin 75^\circ}\approx \frac{4{,}5\cdot 0{,}5}{0{,}9659}\approx 2{,}33.$$
в) По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}.$$
Тогда
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\sin 80^\circ}{16}\approx \frac{10\cdot 0{,}9848}{16}\approx 0{,}6155,$$
откуда $$\angle B\approx 37^\circ59′.$$
Далее
$$\angle C=180^\circ-80^\circ-37^\circ59’\approx 62^\circ01′.$$
И ещё
$$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{16\sin 62^\circ01′}{\sin 80^\circ}\approx \frac{16\cdot 0{,}8830}{0{,}9848}\approx 14{,}35.$$
г) $$\angle A=180^\circ-45^\circ-70^\circ=65^\circ.$$
По теореме синусов:
$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{24{,}6\sin 45^\circ}{\sin 65^\circ}\approx \frac{24{,}6\cdot 0{,}7071}{0{,}9063}\approx 19{,}19,$$
$$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{24{,}6\sin 70^\circ}{\sin 65^\circ}\approx \frac{24{,}6\cdot 0{,}9397}{0{,}9063}\approx 25{,}51.$$
д) По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}.$$
Следовательно,
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{7\sin 60^\circ}{10}\approx \frac{7\cdot 0{,}8660}{10}\approx 0{,}6062,$$
откуда $$\angle B\approx 37^\circ19′.$$
Тогда
$$\angle C=180^\circ-60^\circ-37^\circ19’\approx 82^\circ41′.$$
И
$$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{10\sin 82^\circ41′}{\sin 60^\circ}\approx \frac{10\cdot 0{,}9919}{0{,}8660}\approx 11{,}45.$$
е) Так как $$a=b,$$ то $$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-54^\circ}{2}=63^\circ.$$
По теореме косинусов:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,$$
$$c^2=6{,}3^2+6{,}3^2-2\cdot 6{,}3\cdot 6{,}3\cos 54^\circ,$$
$$c^2\approx 79{,}38-79{,}38\cdot 0{,}5878\approx 32{,}72,$$
значит
$$c\approx 5{,}72.$$
ж) По теореме косинусов:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$
$$a^2=32^2+45^2-2\cdot 32\cdot 45\cos 87^\circ,$$
$$a\approx 53{,}84.$$
По теореме синусов:
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{32\sin 87^\circ}{53{,}84}\approx 0{,}5935,$$
откуда $$\angle B\approx 36^\circ18′.$$
Тогда
$$\angle C=180^\circ-87^\circ-36^\circ18’\approx 56^\circ42′.$$
з) По теореме косинусов:
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{18^2+20^2-14^2}{2\cdot 18\cdot 20}=\frac{504}{720}=0{,}7,$$
значит $$\angle A\approx 45^\circ34′.$$
Далее
$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{14^2+20^2-18^2}{2\cdot 14\cdot 20}=\frac{272}{560}\approx 0{,}4857,$$
откуда $$\angle B\approx 60^\circ57′.$$
Тогда
$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B\approx 73^\circ29′.$$
и) По теореме косинусов:
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7{,}3^2+4{,}8^2-6^2}{2\cdot 7{,}3\cdot 4{,}8}\approx 0{,}5755,$$
следовательно, $$\angle A\approx 54^\circ52′.$$
Далее
$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{6^2+4{,}8^2-7{,}3^2}{2\cdot 6\cdot 4{,}8}\approx 0{,}0998,$$
значит $$\angle B\approx 84^\circ16′.$$
И
$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B\approx 40^\circ52′.$$
Ответ
а) $$\angle C=80^\circ,\ a\approx 12{,}31,\ b\approx 9{,}14.$$
б) $$\angle B=75^\circ,\ a\approx 2{,}33,\ c=4{,}5.$$
в) $$\angle B\approx 37^\circ59′,\ \angle C\approx 62^\circ01′,\ c\approx 14{,}35.$$
г) $$\angle A=65^\circ,\ b\approx 19{,}19,\ c\approx 25{,}51.$$
д) $$\angle B\approx 37^\circ19′,\ \angle C\approx 82^\circ41′,\ c\approx 11{,}45.$$
е) $$\angle A=\angle B=63^\circ,\ c\approx 5{,}72.$$
ж) $$a\approx 53{,}84,\ \angle B\approx 36^\circ18′,\ \angle C\approx 56^\circ42′.$$
з) $$\angle A\approx 45^\circ34′,\ \angle B\approx 60^\circ57′,\ \angle C\approx 73^\circ29′.$$
и) $$\angle A\approx 54^\circ52′,\ \angle B\approx 84^\circ16′,\ \angle C\approx 40^\circ52′.$$
