Упр.1113 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите площадь треугольника ABC, если: а) угол A = a, а высоты, проведённые из вершин В и С, соответственно равны hb и hc; б) угол A = a, угол B = b, а высота, проведённая из вершины В, равна h. Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная мера дуги закругления?

а) Обозначим основания высот из вершин $$B$$ и $$C$$ через $$B_1$$ и $$C_1$$ соответственно. Тогда в прямоугольных треугольниках $$ABB_1$$ и $$ACC_1$$ имеем:

$$AB=\frac{BB_1}{\sin \angle A}=\frac{h_b}{\sin \alpha},$$

$$AC=\frac{CC_1}{\sin \angle A}=\frac{h_c}{\sin \alpha}.$$

Площадь треугольника найдём по формуле через две стороны и угол между ними:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \alpha.$$

Подставим найденные выражения:

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{h_b}{\sin \alpha}\cdot \frac{h_c}{\sin \alpha}\cdot \sin \alpha =\frac{h_bh_c}{2\sin \alpha}. $$

б) Пусть $$BB_1=h$$ — высота из вершины $$B$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$:

$$AB=\frac{BB_1}{\sin \angle A}=\frac{h}{\sin \alpha}.$$

В треугольнике $$BB_1C$$ угол при вершине $$B$$ равен $$\beta$$, а угол при вершине $$C$$ равен $$180^\circ-(\alpha+\beta)$$, поэтому

$$BC=\frac{BB_1}{\sin \angle C}=\frac{h}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

Теперь найдём площадь:

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin \beta =\frac{1}{2}\cdot \frac{h}{\sin \alpha}\cdot \frac{h}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot \sin \beta. $$

$$ S_{ABC}=\frac{h^2\sin \beta}{2\sin \alpha\sin(\alpha+\beta)}. $$

в) Длина дуги окружности выражается формулой

$$l=\frac{2\pi R}{360^\circ}\cdot \alpha=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot \alpha.$$

Переведём длину дуги в километры:

$$l=400\text{ м}=0{,}4\text{ км}.$$

Тогда

$$ \alpha=\frac{l\cdot 180^\circ}{\pi R} =\frac{0{,}4\cdot 180^\circ}{3{,}14\cdot 5} \approx 4^\circ 35′. $$

Ответ

а) $$\frac{h_bh_c}{2\sin \alpha}$$;
б) $$\frac{h^2\sin \beta}{2\sin \alpha\sin(\alpha+\beta)}$$;
в) $$4^\circ 35’$$.