Упр.1110 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
- Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге окружности, равно $$47{,}1\ \text{мм}$$. Диаметр колеса равен $$450\ \text{мм}$$. Сколько зубьев имеет колесо?
Обозначим стороны параллелограмма через $$AB$$ и $$AD$$, а угол между ними — через $$\angle A$$.
Проведём диагональ $$BD$$. Тогда параллелограмм $$ABCD$$ распадается на два треугольника:
$$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}.$$
Найдём площади этих треугольников по формуле площади треугольника через две стороны и синус угла между ними:
$$S_{ABD}=\frac12 AB\cdot AD\cdot \sin\angle A,$$
$$S_{BCD}=\frac12 BC\cdot CD\cdot \sin\angle C.$$
В параллелограмме противоположные стороны равны, а противоположные углы равны, значит
$$BC=AD,\quad CD=AB,\quad \angle C=\angle A.$$
Тогда
$$S_{BCD}=\frac12 AD\cdot AB\cdot \sin\angle A.$$
Складываем площади:
$$S_{ABCD}=\frac12 AB\cdot AD\cdot \sin\angle A+\frac12 AB\cdot AD\cdot \sin\angle A$$
$$S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin\angle A.$$
Что и требовалось доказать.
