Упр.1109 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если:
а) $$AB=6\sqrt{8}\ \text{см}$$, $$AC=4\ \text{см}$$, угол $$A=60^\circ$$;
б) $$BC=3\ \text{см}$$, $$AB=18\sqrt{2}\ \text{см}$$, угол $$B=45^\circ$$;
в) $$AC=14\ \text{см}$$, $$CB=7\ \text{см}$$, угол $$C=48^\circ$$.
Найдите длину дуги окружности радиуса $$6\ \text{см}$$, если её градусная мера равна:
а) $$30^\circ$$;
б) $$45^\circ$$;
в) $$60^\circ$$;
г) $$90^\circ$$.

Подробный ответ

Площадь треугольника найдём по формуле

$$S=\frac12 ab\sin\gamma,$$

где $$a$$ и $$b$$ — стороны, заключающие угол $$\gamma$$.

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\angle A$$

$$S_{ABC}=\frac12\cdot 6\sqrt8\cdot 4\cdot \sin60^\circ$$

$$S_{ABC}=12\sqrt8\cdot \frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt6\ \text{см}^2.$$

$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AB\cdot \sin\angle B$$

$$S_{ABC}=\frac12\cdot 3\cdot 18\sqrt2\cdot \sin45^\circ$$

$$S_{ABC}=27\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=27\ \text{см}^2.$$

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BC\cdot \sin\angle C$$

$$S_{ABC}=\frac12\cdot 14\cdot 7\cdot \sin48^\circ=49\sin48^\circ.$$

$$49\sin48^\circ\approx 49\cdot 0{,}7431\approx 36{,}41\ \text{см}^2.$$

Ответ: а) $$12\sqrt6\ \text{см}^2$$; б) $$27\ \text{см}^2$$; в) $$36{,}41\ \text{см}^2$$.

Длина дуги с градусной мерой $$\alpha$$ равна

$$l=\frac{2\pi R}{360^\circ}\cdot \alpha=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot \alpha.$$

При $$R=6\text{ см}$$ получаем:

$$\alpha=30^\circ$$: $$l=\frac{\pi\cdot 6}{180^\circ}\cdot 30^\circ=\pi\ \text{см}.$$
$$\alpha=45^\circ$$: $$l=\frac{\pi\cdot 6}{180^\circ}\cdot 45^\circ=\frac{3\pi}{2}\ \text{см}.$$
$$\alpha=60^\circ$$: $$l=\frac{\pi\cdot 6}{180^\circ}\cdot 60^\circ=2\pi\ \text{см}.$$
$$\alpha=90^\circ$$: $$l=\frac{\pi\cdot 6}{180^\circ}\cdot 90^\circ=3\pi\ \text{см}.$$

Ответ: а) $$\pi\text{ см}$$; б) $$\frac{3\pi}{2}\text{ см}$$; в) $$2\pi\text{ см}$$; г) $$3\pi\text{ см}$$.