Упр.1106 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координаты: а) (2; 2); б) (0; 3); в) (-корень3; 1); г) (-2корень2; 2корень2). Автомобиль прошёл 989 м. Найдите диаметр колеса автомобиля, если известно, что оно сделало 500 оборотов.

а) Найдём длину вектора $$\overrightarrow{OA}$$:

$$OA^2=2^2+2^2=4+4=8,$$

значит, $$OA=2\sqrt{2}.$$

Тогда

$$\cos \alpha=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin \alpha=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно, $$\alpha=45^\circ.$$

б) Для точки $$A(0;3)$$ имеем:

$$OA^2=0^2+3^2=9,$$

значит, $$OA=3.$$

Тогда

$$\cos \alpha=\frac{0}{3}=0, \qquad \sin \alpha=\frac{3}{3}=1.$$

Следовательно, $$\alpha=90^\circ.$$

в) Для точки $$A(-\sqrt{3};1)$$:

$$OA^2=(\sqrt{3})^2+1^2=3+1=4,$$

значит, $$OA=2.$$

Тогда

$$\cos \alpha=\frac{-\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin \alpha=\frac{1}{2}.$$

Следовательно, $$\alpha=150^\circ.$$

г) Для точки $$A(-2\sqrt{2};2\sqrt{2})$$:

$$OA^2=(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=8+8=16,$$

значит, $$OA=4.$$

Тогда

$$\cos \alpha=\frac{-2\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin \alpha=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно, $$\alpha=135^\circ.$$

Автомобиль прошёл $$989$$ м за $$500$$ оборотов колеса. Тогда длина окружности колеса:

$$C=\frac{989}{500}=1{,}978\text{ м}.$$

Используем формулу $$C=\pi d$$:

$$d=\frac{C}{\pi}=\frac{1{,}978}{3{,}14}\approx 0{,}63\text{ м}.$$

Ответ

а) $$45^\circ$$; б) $$90^\circ$$; в) $$150^\circ$$; г) $$135^\circ$$; диаметр колеса $$0{,}63$$ м.