Упр.1105 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Угол между лучом $$OA$$, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью $$Ox$$ равен $$\alpha$$. Найдите координаты точки $$A$$, если:
а) $$OA=3$$, $$\alpha=45^\circ$$;
б) $$OA=1{,}5$$, $$\alpha=90^\circ$$;
в) $$OA=5$$, $$\alpha=150^\circ$$;
г) $$OA=1$$, $$\alpha=180^\circ$$;
д) $$OA=2$$, $$\alpha=30^\circ$$.
Найдите длину окружности, вписанной:
а) в квадрат со стороной $$a$$;
б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$;
в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой $$c$$ и острым углом $$\alpha$$;
г) в равнобедренный треугольник с углом при основании $$\alpha$$ и высотой $$h$$, проведённой к основанию.

Подробный ответ

Найдём длину окружности по формуле $$C=2\pi r,$$ где $$r$$ — радиус вписанной окружности.

а) В квадрате со стороной $$a$$ диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата, значит

$$2r=a,\qquad r=\frac{a}{2}.$$

Тогда

$$C=2\pi\cdot \frac{a}{2}=\pi a.$$

б) В равнобедренном прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$c$$ катеты равны $$\frac{c}{\sqrt2}$$. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$

Здесь $$a=b=\frac{c}{\sqrt2},$$ поэтому

$$r=\frac{\frac{c}{\sqrt2}+\frac{c}{\sqrt2}-c}{2} =\frac{c(\sqrt2-1)}{2}.$$

Следовательно,

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac{c(\sqrt2-1)}{2}=\pi c(\sqrt2-1).$$

в) Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $$c,$$ а острый угол равен $$\alpha$$. Тогда катеты:

$$a=c\cos\alpha,\qquad b=c\sin\alpha.$$

По той же формуле для радиуса вписанной окружности:

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{c\cos\alpha+c\sin\alpha-c}{2} =\frac{c(\cos\alpha+\sin\alpha-1)}{2}.$$

Значит,

$$C=2\pi r=\pi c(\cos\alpha+\sin\alpha-1).$$

г) В равнобедренном треугольнике с углами при основании $$\alpha$$ высота $$BH=h$$ делит его на два равных прямоугольных треугольника. Обозначим центр вписанной окружности через $$O$$, тогда $$OH=r$$.

Из прямоугольного треугольника $$ABH$$:

$$\tg\alpha=\frac{BH}{AH}\quad \Rightarrow \quad AH=\frac{h}{\tg\alpha}.$$

Так как $$AO$$ — биссектриса, то

$$\angle OAH=\frac{\alpha}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$AOH$$:

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{OH}{AH}\quad \Rightarrow \quad r=OH=AH\cdot \tg\frac{\alpha}{2} =\frac{h}{\tg\alpha}\tg\frac{\alpha}{2}.$$

Тогда длина окружности равна

$$C=2\pi r=2\pi\cdot \frac{h}{\tg\alpha}\tg\frac{\alpha}{2}.$$