Упр.1104 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Постройте угол $$A$$, если: а) $$\sin A=\frac{2}{3}$$; б) $$\cos A=\frac{3}{4}$$; в) $$\cos A=-\frac{2}{5}$$.
- Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной $$a$$; б) прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$; в) равнобедренного треугольника с основанием $$a$$ и боковой стороной $$b$$; г) прямоугольника с меньшей стороной $$a$$ и острым углом $$\alpha$$ между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна $$24\sqrt{3}\,\text{см}^2$$.
а) Для правильного треугольника со стороной $$a$$ его радиус описанной окружности равен
$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$
Тогда длина окружности:
$$C=2\pi R=2\pi\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}.$$
б) В прямоугольном треугольнике с катетами $$a$$ и $$b$$ гипотенуза равна
$$c=\sqrt{a^2+b^2}.$$
Центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит
$$R=\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$
Следовательно,
$$C=2\pi R=2\pi\cdot \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\pi\sqrt{a^2+b^2}.$$
в) Пусть в равнобедренном треугольнике основание равно $$a$$, а боковые стороны — $$b$$. Тогда высота, проведённая к основанию, делит его пополам:
$$\frac{a}{2}.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и боковой стороной:
$$h=\sqrt{b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}.$$
Радиус описанной окружности равен
$$R=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$
Тогда
$$C=2\pi R=\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$
г) Пусть у прямоугольника меньшая сторона равна $$a$$, а острый угол между диагоналями равен $$\alpha$$. Тогда для радиуса описанной окружности получаем
$$R=\frac{a}{2\sin \frac{\alpha}{2}}.$$
Следовательно,
$$C=2\pi R=\frac{\pi a}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$$
д) Для правильного шестиугольника площадь выражается через радиус описанной окружности так:
$$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2.$$
По условию
$$\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2=24\sqrt{3}.$$
Отсюда
$$R^2=16,\qquad R=4\text{ см}.$$
Тогда длина окружности:
$$C=2\pi R=8\pi\text{ см}.$$
Ответ
а) $$\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}$$; б) $$\pi\sqrt{a^2+b^2}$$; в) $$\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}$$; г) $$\frac{\pi a}{\sin \frac{\alpha}{2}}$$; д) $$8\pi\text{ см}$$.
