Упр.1103 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°, 150°. Как изменится радиус окружности, если длину окружности: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в к раз?

Используем формулы приведения и значения тригонометрических функций для острых углов:

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,$$
$$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,$$
$$\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha.$$

Тогда:

$$\sin 120^\circ=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},$$
$$\cos 120^\circ=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos 60^\circ=-\frac{1}{2},$$
$$\tg 120^\circ=\frac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}.$$

$$\sin 135^\circ=\sin(180^\circ-45^\circ)=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},$$
$$\cos 135^\circ=\cos(180^\circ-45^\circ)=-\cos 45^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$
$$\tg 135^\circ=\frac{\sin 135^\circ}{\cos 135^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1.$$

$$\sin 150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin 30^\circ=\frac{1}{2},$$
$$\cos 150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$
$$\tg 150^\circ=\frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Теперь рассмотрим длину окружности $$C=2\pi R$$, откуда

$$R=\frac{C}{2\pi}.$$

а) Если длину окружности увеличить в $$k$$ раз, то

$$C_1=kC,$$
$$R_1=\frac{C_1}{2\pi}=\frac{kC}{2\pi}=kR.$$

Значит, радиус увеличится в $$k$$ раз.

б) Если длину окружности уменьшить в $$k$$ раз, то

$$C_1=\frac{C}{k},$$
$$R_1=\frac{C_1}{2\pi}=\frac{C}{k\cdot 2\pi}=\frac{R}{k}.$$

Значит, радиус уменьшится в $$k$$ раз.

Ответ

$$\sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos 120^\circ=-\frac{1}{2},\quad \tg 120^\circ=-\sqrt{3};$$
$$\sin 135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos 135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \tg 135^\circ=-1;$$
$$\sin 150^\circ=\frac{1}{2},\quad \cos 150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \tg 150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

а) радиус увеличится в $$k$$ раз; б) радиус уменьшится в $$k$$ раз.