Упр.1100 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите sin а, если: a) cosa=1/2; б) cosa=-2/3; в) cosa=-1. С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник.

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

а) Если $$\cos\alpha=\frac12,$$ то

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac14=\frac34,$$

откуда

$$\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

б) Если $$\cos\alpha=-\frac23,$$ то

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac49=\frac59,$$

откуда

$$\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt5}{3}.$$

в) Если $$\cos\alpha=-1,$$ то

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-1=0,$$

значит,

$$\sin\alpha=0.$$

Построение правильных многоугольников в данной окружности.

а) Правильный шестиугольник. Берём на окружности любую точку и, не меняя раствора циркуля, равного радиусу окружности, последовательно откладываем на окружности шесть равных дуг. Полученные точки соединяем — получаем правильный шестиугольник.

б) Правильный треугольник. Сначала строим правильный шестиугольник, а затем соединяем через одну вершину. Получится правильный треугольник.

в) Квадрат. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Концы диаметров соединяем последовательно — получаем квадрат.

г) Правильный восьмиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра, затем делим пополам каждый из четырёх центральных углов. Полученные восемь точек на окружности соединяем по порядку.

Ответ

а) $$\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{2};$$ б) $$\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt5}{3};$$ в) $$\sin\alpha=0.$$

Правильный шестиугольник, треугольник, квадрат и восьмиугольник строятся по описанным выше шагам.