Упр.110 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны. а) Докажите, что уголABD = уголCDB; б) найдите уголABC, если уголADB = 44°. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

а) Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CDB$$.

Имеем:

• $$AB=CD$$ — по условию;
• $$BD$$ — общая сторона;
• $$\angle ABD=\angle CDB=90^\circ$$, так как $$AB \perp a$$ и $$CD \perp a$$.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CDB$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда равны соответствующие углы:

$$\angle ADB=\angle CBD.$$

б) По условию $$\angle ADB=44^\circ$$, значит $$\angle CBD=44^\circ$$.

Тогда

$$\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD=90^\circ-44^\circ=46^\circ.$$

Докажем, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BM$$ — медиана и высота, где $$M$$ лежит на стороне $$AC$$. Тогда:

• $$AM=MC$$, так как $$BM$$ — медиана;
• $$\angle BMA=\angle BMC=90^\circ$$, так как $$BM$$ — высота;
• $$BM$$ — общая сторона.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle CBM$$. Они равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AM=MC,\quad BM=BM,\quad \angle BMA=\angle BMC.$$

Следовательно, $$AB=BC$$. Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Ответ

а) $$\triangle ABD \cong \triangle CDB$$; б) $$\angle ABC=46^\circ$$; если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.